Het achtdamesprobleem is een schaakprobleem waarbij acht dames zodanig op een schaakbord (van 8×8) moeten worden geplaatst dat ze elkaar volgens de schaakregels niet aanvallen of dekken. Dit betekent dat twee dames niet in dezelfde kolom, rij of diagonaal kunnen staan. Het achtdamesprobleem is een voorbeeld van het meer algemene -damesprobleem, waarbij dames op een schaakbord geplaatst moeten worden. Voor en kunnen er dames op het bord geplaatst worden, voor grotere kunnen dames geplaatst worden.[1][2]
Het probleem werd oorspronkelijk in 1848 geformuleerd door de schaker Max Bezzel. Jarenlang werd door verscheidene wiskundigen aan het probleem gewerkt. Als eerste noemde Franz Nauck het correcte aantal oplossingen in 1850: 92.[3][4] Na de publicatie hebben vele wiskundigen, inclusief Carl Friedrich Gauss, zich met het probleem beziggehouden. Reeds in september 1850 publiceerde Nauck alle 92 oplossingen voor dit probleem, maar gaf geen bewijs dat dit alle oplossingen waren. Gauss heeft in detail beschreven hoe zo'n bewijs er zou moeten uitzien, maar heeft het nooit toegepast, ook al beweerde Gauss dat het "maar een uur of twee in beslag zou nemen".[5]
In 1874 stelde de Engelse wiskundige James W. L. Glaisher voor om het achtdamesprobleem te veralgemenen naar dames.[6] Datzelfde jaar bewees Pauls dat de oplossing van Nauck volledig was: er bestaan niet meer dan 92 oplossingen.[7][8]
Het probleem kent 12 unieke oplossingen die hieronder zijn getoond. Door draaien en spiegelen heeft elke unieke oplossing 8 varianten, behalve de laatste unieke oplossing, die puntsymmetrisch is en daardoor maar 4 varianten heeft. Dat brengt het totaal op oplossingen.
Zoals het probleem veralgemeend kan worden naar dames op een schaakbord, kan het probleem kan ook gesteld worden bij schaakruimtes van hogere dimensies. Zo kunnen bijvoorbeeld 4 dames geplaatst worden in een schaakruimte. Het is geweten dat in een schaakruimte van dimensies met grootte het niet altijd volstaat om dames te hebben.[11]
Vergelijkbare problemen kunnen geformuleerd worden met andere schaakstukken. Zo kunnen op een gewoon schaakbord 32 paarden, 14 lopers, 16 koningen of 8 torens geplaatst worden zonder dat ze elkaar slaan. Ook kunnen combinaties gemaakt worden van verschillende stukken, bijvoorbeeld het plaatsen van dames en paarden zonder dat de stukken elkaar kunnen aanvallen.[12]
Gelijkaardige problemen zijn te formuleren voor variaties op schaken, zoals shogi. Het -vliegendedraakprobleem bestaat er uit om shogipionnen en onderling niet aanvallende gepromoveerde torens te plaatsen op een shogibord.[13]
Het dominantienummer van een schaakbord is het minimale aantal koninginnen dat op het bord moet staan zijn zodat elk vakje van het schaakbord bedekt is door een dame. Voor is dit 5.
In 1992 publiceerden Demirörs, Rafraf en Tanik een methode om bepaalde magische vierkanten om te zetten in oplossingen voor het -damesprobleem en omgekeerd.[15]
Een gerelateerd probleem is het volgende: gegeven een schaakbord waarop al enkele dames staan, is het dan mogelijk om een dame te plaatsen in elke resterende rij zodat geen enkele dame een andere dame kan aanvallen? In een paper van 2017 beweren de auteurs dat dit probleem NP-volledig is.[17] Het is wel belangrijk om op te merken dat dit niet van toepassing is op het originele achtdamesprobleem; het feit dat er al dames op het bord staan is een cruciaal verschil.[18]
↑(de) Nauck, Franz (1 juni 1850) . Schach: Eine in das Gebiet der Mathematik fallende Aufgabe von Herrn Dr. Nauck in Schleusingen. Illustrirte Zeitung14 (361) .
↑(de) Pólya, G. (1984) . Uber die "doppelt-periodischen" Losungen des n-Damen-Problems. George Pólya: Collected papers4 (G-C): 237-247 (MIT Press).
↑(en) Demirörs, O., Rafraf, N., Tanik, M. M. (1992) . Obtaining n-queens solutions from magic squares and constructing magic squares from n-queens solutions. Journal of Recreational Mathematics24: 272-280 .
↑(en) Knuth, Donald (15 november 2000) . Dancing links. Millenial Perspectives in Computer Science: 187-214 . Geraadpleegd op 1 juli 2019.
