Affiene groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de affiene groep of de algemene affiene groep van een affiene ruimte over een lichaam/veld de groep van alle inverteerbare affiene transformaties van die ruimte. De groepsbewerking is de functiecompositie.

De affiene groep is een lie-groep als een reëel, complex of quaternionen-lichaam/veld is.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een inverteerbare affiene transformatie van een vectorruimte is van de vorm

,

met een isomorfisme van , en een vast element van .

De transformatie is dus samengesteld uit het isomorfisme en een translatie over de vector .

Er geldt:

dus

en ook:

zodat:

De inverteerbare, affiene transformaties vormen dus een groep, de affiene groep of algemene affiene groep, aangeduid met [1], [2] of [3].

Als de -dimensionale ruimte over het lichaam/veld is, wordt de affiene groep genoteerd als . In een context waarin duidelijk is, wordt ook wel alleen de parameter aangegeven, bijvoorbeeld .

Voor eindige met elementen, schrijft men eenvoudigweg , want een eindig lichaam/veld is door het aantal elementen op isomorfie na eenduidig bepaald.

De affiene groep van de -dimensionale euclidische ruimte met elementen heeft een aantal belangrijke ondergroepen:

  • algemene lineaire groep met elementen , de oorsprong blijft op zijn plaats
  • euclidische groep of (de isometrieën, dus geen vervorming of vergroting/verkleining)
  • orthogonale groep (de doorsnede van de twee: de isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft)

Verder zijn er nog de ondergroepen hiervan waarbij de determinant van de betreffende matrix 1 is[4]:

  • speciale lineaire groep, (wel vervormingen, maar geen spiegeling en geen verandering van het -dimensionale volume)
  • speciale euclidische groep (de directe isometrieën; voor zijn dit de mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam)
  • speciale orthogonale groep (de directe isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft; voor zijn dit de draaiingen om de oorsprong, voor de draaiingen om een as door de oorsprong)

Referenties[bewerken | brontekst bewerken]

  1. J. D. Dixon, B. Mortimer: Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), ISBN 0-387-94599-7, hfdst. 2.8: Affine and Projective Groups
  2. M. Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, Springer-Verlag (1995), ISBN 978-3-528-06565-2, p. 27
  3. R. Walter: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Vieweg (1985), ISBN 978-3-528-08584-1, p. 168
  4. In het eerste geval (waarbij de determinant elk getal ongelijk aan 0 kan zijn) is dat een grotere beperking dan in het tweede en derde geval (waarbij de determinant 1 en -1 kan zijn).