Affiene groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de affiene groep of de algemene affiene groep van een affiene ruimte over een lichaam/veld de groep van alle inverteerbare affiene transformaties van de affiene ruimte. De groepbewerking is de functiecompositie.

De affiene groep is een Lie-groep als een reëel-, complex- of quaternionen veld is.

De affiene groep van de -dimensionale euclidische ruimte heeft een aantal belangrijke ondergroepen:

  • algemene lineaire groep (de oorsprong blijft op zijn plaats)
  • euclidische groep of (de isometrieën, dus geen vervorming of vergroting/verkleining)
  • orthogonale groep (de doorsnede van de twee: de isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft)

Verder zijn er nog de ondergroepen hiervan waarbij de determinant van de betreffende matrix 1 is[1]:

  • speciale lineaire groep, (wel vervormingen, maar geen spiegeling en geen verandering van het n-dimensionale volume)
  • speciale euclidische groep (de directe isometrieën; voor zijn dit de mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam)
  • speciale orthogonale groep (de directe isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft; voor zijn dit de draaiingen om de oorsprong, voor de draaiingen om een as door de oorsprong)