Affiene ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Lijnstukken in een tweedimensionale affiene ruimte.

In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een affiene ruimte een meetkundige structuur, die de affiene eigenschappen van de euclidische ruimte veralgemeent. Informeel kan men zich een affiene ruimte voorstellen als een vectorruimte, maar dan zonder een punt dat als oorsprong fungeert. In een affiene ruimte kan men punten van elkaar aftrekken om zo vectoren te krijgen, of kan men een vector optellen bij een punt om zo een ander punt te verkrijgen, maar men kan punten niet bij elkaar optellen.

Definitie[bewerken]

Een affiene ruimte is een drietal , waarin een niet-lege verzameling is, waarvan de elementen punten genoemd worden, een vectorruimte over een lichaam/veld is en een afbeelding, pijlafbeelding, is die aan het puntenpaar hun verbindingsvector toevoegt, waarvoor geldt;

  • voor elk drietal punten is (driehoeksregel of betrekking van Chasles)
  • voor elk punt en elke vector is er een eenduidig bepaald punt , zodanig dat .[1]

Men spreekt eenvoudig over de affiene ruimte zonder meer, als uit de context duidelijk is wat de vectorriumte en de pijlafbeelding zijn.

De dimensie van een affiene ruimte is dezelde als de dimensie van de bijbehorende vectorruimte.

Voorbeeld[bewerken]

Laat een gewoon vlak zijn. Door de keuze van een assenstelsel wordt tot een euclidische ruimte . De pijlafbeelding is bepaald door . Inderdaad is:

  • voor en is ,en er geldt
als , dan is , dus

Elementaire eigenschappen[bewerken]

Zij een affiene ruimte. Voor punten geldt:

(parallellogramregel)

Voor geldt:

(gegeneraliseerde betrekking van Chasles)

Affiene deelruimten[bewerken]

Als een punt is in de affiene ruimte en een deelruimte van , dan is de deelverzameling van :

met de beperking van de pijlafbeelding tot een affiene ruimte over die afffiene deelruimte van genoemd wordt. Er geldt immers voor punten :

, met ,

dus

en voor en is

Affiene ruimte, projectieve ruimte, vectorruimte

Een affiene deelruimte van een vectorruimte (ook wel een lineaire variëteit genoemd) is een onder affiene combinaties van vectoren in deze ruimte gesloten deelverzameling.

Bij een gegeven familie van vectoren in is bijvoorbeeld de verzameling

die bestaat uit de affiene combinaties van eindige aantallen vectoren uit de familie, een affiene deelruimteruimte, die het affiene opspansel van de familie genoemd wordt. Om in te zien dat dit inderdaad een affiene ruimte is, kan bewezen worden dat deze verzameling een transitieve actie van de lineaire deelruimte van draagt:

Deze affiene deelruimte kan op equivalente wijze worden omschreven als de nevenklasse van de -actie

waarin een element van is, of op equivalente wijze als een niveauverzameling van de quotiënttopologie . Een keuze uit geeft een basispunt van en een identificatie van met , maar er is geen logische keuze, noch een natuurlijke identificatie van met .

Een lineaire transformatie is een functie die alle lineaire combinaties bewaart; een affiene transformatie is een functie die alle affiene combinaties bewaart. Een lineaire deelruimte is een affiene deelruimte met daarin een oorsprong, oftewel, op gelijkwaardige wijze een deelruimte, die onder lineaire combinaties is gesloten.

Bijvoorbeeld in de zijn de oorsprong, de lijnen en vlakken door de oorsprong en ook de gehele ruimte met oorsprong zelf lineaire deelruimten, terwijl punten, lijnen en vlakken in het algemeen, alsmede de gehele ruimte affiene deelruimten zijn.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • Rolf Brandl: Vorlesungen über Analytische Geometrie,Verlag Rolf Brandl, Hof, 1996 p. 10 ev.