Aftelbare verzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Aftelbaar)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde noemen we een verzameling aftelbaar als we de elementen ervan kunnen ‘aftellen’. Dat houdt in dat we de elementen op een rij kunnen zetten met een eerste element, een tweede element, enz., waarbij alle elementen aan de beurt komen. De eenvoudigste aftelbare verzamelingen zijn de eindige verzamelingen.

Een aftelbare verzameling is niet noodzakelijk eindig. Zo zijn ook de gehele getallen aftelbaar. We zetten ze als volgt in een rij om geteld te worden: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, enz. Het tellen van de elementen stopt weliswaar nooit, maar elk element komt aan de beurt.

Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn, dat wil zeggen niet aftelbaar. Een verzameling is dus eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar.

Definitie[bewerken]

Een verzameling heet aftelbaar oneindig als gelijkmachtig is met , d.w.z. als er een bijectie bestaat.

De volgende definities zijn equivalent: Een verzameling heet aftelbaar als:

  • eindig of aftelbaar oneindig is
  • er een surjectie bestaat
  • er een injectie bestaat
  • er een bijectie bestaat, of voor zeker geheel getal een bijectie
  • gelijkmachtig is met , of voor zeker geheel getal gelijkmachtig met

Eigenschappen[bewerken]

  • Als aftelbaar is en er bestaat een surjectieve functie tussen en een bepaalde verzameling , dan is ook aftelbaar.
  • Een eindig product van aftelbare verzamelingen is aftelbaar. Dat kan men als volgt inzien:
Stel dat tot en met aftelbaar zijn, met een natuurlijk getal. Dan zijn er surjectieve functies tussen de natuurlijke getallen en . We kunnen die surjectieve functies combineren tot één surjectieve functie:
Daar aftelbaar is voor elke natuurlijke , zal ook aftelbaar zijn.

Voorbeelden[bewerken]

  • De verzameling van de gehele getallen is aftelbaar. Een voor de hand liggende aftelling is de volgende:
  • Een mogelijke aftelling van is de volgende:
Eerst schrijven we dus de paren op met som 0, dan die met som 1, daarna met som 2, enzovoort. Deze procedure kan men uitbreiden naar een willekeurig eindige macht van .
  • De verzameling van de positieve rationale getallen is aftelbaar, want met elk positief rationaal getal correspondeert een koppel natuurlijke getallen (teller, noemer). Door afwisselend een positief en een negatief rationaal getal te tellen volgt ook dat de rationale getallen aftelbaar zijn.