Algebraïsche functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebra is een algebraïsche functie een functie die de wortel is van een polynomiale vergelijking. In veel gevallen kunnen zulke functies uitgedrukt worden in een eindig aantal termen met slechts gebruikmaking van de algebraïsche bewerkingen optelling, vermenigvuldiging en machtsverheffing, eventueel tot een gebroken macht. Voorbeelden zijn:

f(x)=\frac 1x, f(x)=\sqrt{x}, f(x)=
\frac
{\sqrt{1+x^2}}
{x-\sqrt[3]{x}}
.

Niet iedere algebraïsche functie kan echter zo uitgedrukt worden, zoals aangetoond is door Galois en Niels Abel. Een voorbeeld is de algebraïsche functie f(x), gedefinieerd door de vijfdegraadsvergelijking

(f(x))^5+(f(x))^4+x=0.

Definitie[bewerken]

Een algebraïsche functie in één veranderlijke is een functie y=f(x) die voldoet aan een algebraïsche vergelijking van de vorm:

a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\ldots+a_0(x)=0,

waarin de coëfficiënten zelf ook weer polynomen zijn.

In dit geval is er één variabele; meer in het algemeen mogen de coëfficiënten ook polynomen in meer variabelen zijn.

Een functie die niet algebraïsch is, wordt een transcendente functie of een niet-algebraïsche functie genoemd.