Alternatieve algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra is een alternatieve algebra een algebra, waarin de operatie vermenigvuldiging niet associatief hoeft te zijn, maar alleen alternatief. Dat wil zeggen, dat moet gelden dat

voor alle x en y in de algebra. Elke associatieve algebra is verzelfsprekend alternatief, maar dat geldt ook voor enige strikte niet-associatieve algebra's, zoals de octonionen. De sedenionen, aan de andere kant, zijn niet alternatief.

De associator[bewerken]

Alternatieve algebra's worden zo genoemd omdat ze precies de algebra's zijn waarvoor de associator alternatief is. De associator is een trilineaire mapping die wordt gegeven door

Per definitie is een multilineaire mapping alternatief als de mapping verdwijnt wanneer twee van zijn argumenten gelijk zijn. De linker- en rechteridentiteiten van een algebra zijn gelijkwaardig met

Deze twee identities impliceren samen dat de associator totaal scheef-symmetrisch is. Dat is,

voor enige permutatie σ. Hieruit volgt datt

voor alle x and y. Dit is equivalent aan de zogenoemde flexibele identiteit

De associator is daarom alternerende. Omgekeerd is enige algebra waar de associator alterneert duidelijk alternatief. Door symmetrie is enige algebra die voldoet aan een van de twee onderstaande condities:

  • links alternatieve identiteit:
  • rechts alternatieve identiteit:
  • flexibele identiteit:

alternatief en voldoet daarom aan alle identiteiten.

Een alternerende associator is altijd totaal scheef-symmetrisch. Het omgekeerde geldt zo lang als de karakteristiek van het basisveld ongelijk is aan 2.