Alternatieve algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra is een alternatieve algebra een algebra, waarin de operatie vermenigvuldiging niet associatief hoeft te zijn, maar alleen alternatief. Dat wil zeggen, dat moet gelden dat

  • x(xy) = (xx)y \,
  • (yx)x = y(xx) \,

voor alle x en y in de algebra. Elke associatieve algebra is verzelfsprekend alternatief, maar dat geldt ook voor enige strikte niet-associatieve algebra's, zoals de octonionen. De sedenionen, aan de andere kant, zijn niet alternatief.

De associator[bewerken]

Alternatieve algebra's worden zo genoemd omdat ze precies de algebra's zijn waarvoor de associator alternatief is. De associator is een trilineaire mapping die wordt gegeven door

[x,y,z] = (xy)z - x(yz) \,

Per definitie is een multilineaire mapping alternatief als de mapping verdwijnt wanneer twee van zijn argumenten gelijk zijn. De linker- en rechteridentiteiten van een algebra zijn gelijkwaardig met

[x,x,y] = 0 \,
[y,x,x] = 0 \,.

Deze twee identities impliceren samen dat de associator totaal scheef-symmetrisch is. Dat is,

[x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}] = \sgn(\sigma)[x_1,x_2,x_3] \,

voor enige permutatie σ. Hieruit volgt datt

[x,y,x] = 0 \,

voor alle x and y. Dit is equivalent aan de zogenoemde flexibele identiteit

(xy)x = x(yx) \,.

De associator is daarom alternerende. Omgekeerd is enige algebra waar de associator alterneert duidelijk alternatief. Door symmetrie is enige algebra die voldoet aan een van de twee onderstaande condities:

  • links alternatieve identiteit: x(xy) = (xx)y \,
  • rechts alternatieve identiteit: (yx)x = y(xx) \,
  • flexibele identiteit: (xy)x = x(yx) \,.

alternatief en voldoet daarom aan alle identiteiten.

Een alternerende associator is altijd totaal scheef-symmetrisch. Het omgekeerde geldt zo lang als de karakteristiek van het basisveld ongelijk is aan 2.