Antiprisma

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een zeventienhoekig antiprisma.

In de meetkunde is een -zijdig antiprisma een ruimtelijk veelvlak dat wordt gevormd door een onder- en een bovenvlak van twee evenwijdige kopieën van een -zijdige veelhoek, verbonden door een band van alternerende driehoeken. Boven- en ondervlak[1] zijn daarbij in het algemeen ten opzichte van elkaar verschoven en gedraaid.

Antiprisma's zijn verwant met gewone prisma's, met als verschil dat bij een prisma boven- en ondervlak niet ten opzichte van elkaar gedraaid zijn en verbonden worden door parallellogrammen.

Een antiprisma heet regelmatig als de veelhoek die onder- en bovenzijde vormt, een regelmatige veelhoek is. Extra regelmaat ontstaat als onder- en bovenvlak ten opzichte van elkaar over de halve hoek van de veelhoek gedraaid zijn, dus over .

Een (extra) regelmatig antiprisma wordt nog recht genoemd, als de middelpunten van onder- en bovenvlak loodrecht boven elkaar liggen ten opzichte van onder- en bovenvlak. De zijkant van een recht antiprisma bestaat uit een band van gelijkbenige driehoeken. Zo'n antiprisma heet uniform als de zijkant bestaat uit een band van gelijkzijdige driehoeken (zie uniform veelvlak).

Formules[bewerken]

  • De straal van de omgeschreven bol van een recht (dus extra regelmatig) -zijdig antiprisma met zijde en hoogte kan berekend worden als de schuine zijde in een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden en de straal van de omgeschreven cirkel van de veelhoek. Dus:
  • De oppervlakte van een recht -zijdig antiprisma met zijde en hoogte is samengesteld uit de oppervlakten van onder- en bovenvlak en de oppervlakten van de gelijkbenige driehoeken van de zijkant. Er geldt:
en
,
zodat gegeven wordt door de formule:
  • Als het antiprisma uniform is, is:
en
,
zodat
  • De inhoud van een uniform -zijdig antiprisma met zijde wordt gegeven door:

Varianten[bewerken]

Het uniforme antiprisma kan worden gegeneraliseerd tot uniforme antiprisma's in de ruime zin, met hoekpuntconfiguratie , met , waarbij bijvoorbeeld gelijk is aan , maar niet gelijk is aan . Het grondvlak van is (ster)veelhoek , die gelijk is aan . Het bovenvlak is gedraaid ten opzichte van het grondvlak, en bij het doorlopen van de ribben van onder- naar bovenvlak wordt ook een draai om de verticale as van het veelvlak gemaakt over deze hoek. De voorwaarde is er omdat de lengte van de horizontale zijde van een driehoekig zijvlak langer moet zijn dan de horizontale component van de beide andere zijden.

  • Voor en onderling ondeelbaar is er het sterantiprisma met en het retrograde sterantiprisma met .
  • Als en grootste gemene deler hebben is er met en een samengesteld veelvlak van identieke uniforme antiprisma's door elkaar (elk met grondvlak , samen met grondvlak ). Voorbeelden:
    • bestaat uit twee exemplaren van het antiprisma door elkaar.
    • bestaat uit twee exemplaren van het sterantiprisma door elkaar.
    • bestaat uit twee exemplaren van het retrograde sterantiprisma door elkaar.

Voor even heeft het object de symmetrie van een prisma (Dph), en anders die van een antiprisma (Dpd).

Externe link[bewerken]