Areaalfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De areaalfuncties zijn de inverse functies van de hyperbolische functies. De aanduiding 'areaal' in areaalfunctie refereert aan de betekenis van deze functies als oppervlakte.

Benaming en notatie[bewerken | brontekst bewerken]

Een punt op de standaard hyperbool bepaalt een wigvormig gebied waarvan de oppervlakte gelijk is aan de inverse van de cosinus hyperbolicus en van de sinus hyperbolicus

De standaardhyperbool

kan in parametervorm, met als parameter, geschreven worden door

Voor de parameterwaarde is de oppervlakte van het blauwe gebied in nevenstaande figuur juist gelijk aan . Het bijbehorende punt op de hyperbool is , zodat

De inverse functies van de cosinus- en de sinus hyperbolicus

geven dus als resultaat een oppervlakte, een 'areaal', dat overeenkomt met de blauw gekleurde punt. Vandaar dat deze inverse functies areaalfuncties genoemd worden. Naast het prefix "ar" wordt, naar analogie met de arcsinus e.d., ook "arc" (arcsinus hyperbolicus, arcsinh) gebruikt. Soms ziet men ook het prefix arg, dat staat voor argument of eenvoudigweg a, als in .

Expliciete formules[bewerken | brontekst bewerken]

Links: rood: arsinh(x) is een oneven functie die loopt van linksonder tot rechtsboven, blauw: arcosh(x), een functie die enkel bestaat voor x groter of gelijk aan 1. Midden: rood: atanh(x), het gedeelte op het interval −1,1, blauw: arcth(x), de twee gedeelten buiten het interval [−1,1]. Rechts: rood: arsech(x, van het punt (1,0) naar de y-as, blauw: arcsch(x), een functie met oneven symmtrie

De zes areaalfuncties kunnen uitgedrukt worden in eenvoudige formules met behulp van de natuurlijke logaritme.

Areaalsinus hyperbolicus[bewerken | brontekst bewerken]

Areaalcosinus hyperbolicus[bewerken | brontekst bewerken]

Areaaltangens hyperbolicus[bewerken | brontekst bewerken]

Areaalcotangens hyperbolicus[bewerken | brontekst bewerken]

Areaalsecans hyperbolicus[bewerken | brontekst bewerken]

Areaalcosecans hyperbolicus[bewerken | brontekst bewerken]

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Identiteiten[bewerken | brontekst bewerken]

Afgeleiden[bewerken | brontekst bewerken]

Integralen[bewerken | brontekst bewerken]

De integralen van de areaalfuncties kunnen alle berekend worden met partiële integratie.

Som- en verschilformules[bewerken | brontekst bewerken]

Onderlinge relaties[bewerken | brontekst bewerken]

Bij het gebruik van deze uitdrukkingen moet rekening gehouden worden met de eventuele beperkingen op het domein van deze functies.

Reeksontwikkelingen[bewerken | brontekst bewerken]

Enkel de areaalsinus hyperbolicus en de areaaltangens hyperbolicus kunnen probleemloos rond x= 0 worden ontwikkeld. De reeksen zijn dan:

Een andere reeksontwikkeling is:

Samenstellingen[bewerken | brontekst bewerken]

Samenstellingen van hyperbolische en areaalfuncties leveren irrationale functievoorschriften:

Limieten[bewerken | brontekst bewerken]

Twee standaardlimieten die areaalfuncties bevatten zijn:

Beide volgen uit de soortgelijke limiet voor de overeenstemmende hyperbolische functie, door middel van een eenvoudige substitutie.

Externe link[bewerken | brontekst bewerken]

  • Wolfram Mathworld: De pagina over de areaalfuncties op de website van Wolfram Mathworld bevat doorverwijzingen ('see also') naar gedetailleerde informatie over de individuele areaalfuncties, met onder andere de reeksontwikkelingen.