Naar inhoud springen

Asymmetrische relatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de wiskunde is een asymmetrische relatie een tweeplaatsige relatie van verzameling waar voor elke geldt dat als dan . [1]

Formele definitie

[bewerken | brontekst bewerken]

Een tweeplaatsige relatie op is elke deelverzameling van . Als gegeven is dat , schrijft men dan en slechts dan als . De uitdrukking wordt gelezen als " is gerelateerd aan via ."

Een tweeplaatsige relatie is asymmetrisch wanneer voor alle geldt: als waar is, dan is onwaar. Dat wil zeggen, als , dan .

Dit kan in de taal van de eerste-orde-predicatenlogica geschreven worden als Een logisch equivalente definitie is:

voor alle is óf onwaar, óf onwaar, óf ze zijn allebei onwaar.

In de taal van de eerste-orde-predicatenlogica kan dat als volgt worden geschreven:Een relatie is asymmetrisch dan en slechts dan als zij zowel antisymmetrisch als irreflexief is.

Een voorbeeld van een asymmetrische relatie is de "is kleiner dan" relatie tussen reële getallen: als dan is uitsluitend groter dan . Elke strikte partiële orde is een asymmetrische relatie, maar niet elke asymmetrische relatie is een strikte partiële orde. Een voorbeeld van een asymmetrische, intransitieve relatie relatie is de steen-papier-schaar relatie. Stel, verslaat dan verslaat niet en stel, verslaat en verslaat dan verslaat niet

Eigenschappen

[bewerken | brontekst bewerken]

Het is voldoende als er aan één van de volgende voorwaarden gedaan wordt, wil relatie asymmetrisch zijn. [2]

  • is irreflexief en antisymmetrisch (dit is ook nodig)
  • is irreflexief en transitief. Een transitieve relatie is asymmetrisch dan en slechts dan als zij irreflexief is: als en volgt uit transitiviteit wat in tegenspraak is met irreflexiviteit. Deze relatie is een strikte partiele orde.
  • is antitransitief en antisymmetrisch
  • is antitransitief en transitief
  1. (en) Gries, David (22 oktober 1993). A Logical Approach to Discrete Math. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94115-8.
  2. Mathematics. arxiv.org. Geraadpleegd op 27 november 2024.