Asymptotisch rake schatter

$\{T_{1},T_{2},\ldots \}$ is een rij asymptotisch rake schatters voor de parameter $\theta =4$. De verdelingen van de schatters concentreren zich met toenemende steekproefomvang $n$ steeds meer rond de parameter $\theta$. Wel zijn de schatters onzuiver.

In de statistiek heet een schatter asymptotisch raak (Engels: consistent) als de schatter met toenemende steekproefomvang in kans convergeert naar de te schatten parameter.

Definitie

Zij $(X_{i})$ een aselecte steekproef van de stochastische variabele $X$ waarvan de verdelingsfunctie $F_{X}$ afhangt van de parameter $\theta$. De schatter $T_{n}=t_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ heet asymptotisch raak als $T_{n}$ in kans convergeert naar $\theta$, dus als voor alle $\varepsilon >0$

$\lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-\theta |>\varepsilon )=0$

Men noteert wel:

$X_{n}\,\xrightarrow {P} \,\theta$

Voorbeeld

Het steekproefgemiddelde

${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\ldots +X_{n})$

van een aselecte steekproef $X_{1},\ldots ,X_{n}$ uit een normale verdeling met parameters $\mu$ en $\sigma ^{2}$ is een asymptotisch rake schatter voor $\mu$. De schatter ${\overline {X}}_{n}$ is ook normaal verdeeld, maar met parameters $\mu$ en $\sigma ^{2}/n$. Dus is

$Z_{n}={\sqrt {n}}{\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}$

standaardnormaal verdeeld.

Voor elke $\varepsilon >0$ geldt dus:

$P(|{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon )=P\left(|Z_{n}|>{\sqrt {n}}{\frac {\varepsilon }{\sigma }}\right)\to 0$ voor $n\to \infty$

De meest aannemelijke schatter ${\widehat {\sigma _{n}^{2}}}$ voor de variantie in de normale verdeling, gedefinieerd door:

${\widehat {\sigma _{n}^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

is niet zuiver, maar wel asymptotisch raak.