Behangpatroongroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het geheel van symmetrie van een tweedimensionaal patroon met minstens translatiesymmetrie in twee richtingen kan worden ingedeeld in 17 categorieën, die behangpatroongroepen worden genoemd. Binnen een categorie kunnen parameters variëren, maar is het geheel van symmetrie in essentie hetzelfde. Aangezien de symmetriegroep van een patroon de exacte symmetrie representeert is een behangpatroongroep een categorie van symmetriegroepen.

Een behangpatroongroep is een 2-dimensionale ruimtegroep.

een Islamitisch patroon, volgens groep p4mm

Alle 17 behangpatroongroepen komen reeds voor in de islamitische ornamenten in het Alhambra in Spanje. Evgraf Fedorov (Russisch wiskundige) leverde hiervoor het bewijs in 1891.

Verwant zijn de strookpatroongroepen voor herhaling in één richting (hiervan zijn er zeven), en de rozetpatroongroepen voor patronen zonder translatiesymmetrie: cyclische groepen en dihedrale groepen.

Symmetrie[bewerken]

De symmetriegroep van een tweedimensionaal patroon met minstens translatiesymmetrie in twee richtingen bestaat behalve uit translaties uit isometrieën in nul of meer van de volgende categorieën:

In de afbeeldingen hieronder wordt gebruikgemaakt van de volgende tekens:

  • Wallpaper group diagram legend rotation2.svg een ruit geeft het centrum aan van een rotatie over 180° (= 360°/2 )
  • Wallpaper group diagram legend rotation3.svg een driehoek geeft het centrum aan van een rotatie over 120°(= 360°/3 )
  • Wallpaper group diagram legend rotation4.svg een vierkant geeft het centrum aan van een rotatie over 90° (= 360°/4 )
  • Wallpaper group diagram legend rotation6.svg een zeshoek geeft het centrum aan van een rotatie over 60°(= 360°/6 )
  • Wallpaper group diagram legend reflection.svg een dikke lijn geeft de spiegelas aan
  • Wallpaper group diagram legend glide reflection.svg een stippellijn geeft een glijspiegeling aan, dit is een combinatie van een spiegelas met een translatie

Het getekende parallellogram (met als speciale gevallen ruit en rechthoek) is steeds een van de versies van het gebied dat zich op basis van de translatiesymmetrie steeds herhaalt. Het gele vlak is een fundamenteel domein van het patroon.

Parallellogrammen[bewerken]

1. Groep p1 (ook O1)

Behangpatroongroep p1
Deze groep heeft translatie als enige vorm van symmetrie.

2. Groep p2 (ook 2222)

Behangpatroongroep p2
Deze groep heeft naast translatie vier rotaties van 180°.

Rechthoeken[bewerken]

3. Groep pm (ook **)

Behangpatroongroep pm
Deze groep heeft 2 parallelle spiegelassen

4. Groep pg (ook XX)

Behangpatroongroep pg

5. Groep pmm (ook *2222)

Behangpatroongroep pmm

6. Groep pmg (ook 22*)

Behangpatroongroep pmg

7. Groep pgg (ook 22X)

Behangpatroongroep pgg

Ruiten[bewerken]

8. Groep cm (ook *X)

Behangpatroongroep cm

9. Groep cmm (ook 2*22)

Behangpatroongroep cmm

Vierkanten[bewerken]

10. Groep p4 (ook 442)

Behangpatroongroep p4

11. Groep p4mm (ook *442 of p4m)

Behangpatroongroep p4mm
Voorbeelden zijn ruitjespapier (regelmatige betegeling met vierkanten), een vierkant puntgrid en een schaakbordpatroon (bij het laatste lopen de kortste translatievectoren diagonaal)

12. Groep p4gm (ook 4*2 of p4g)

Behangpatroongroep p4gm
Een voorbeeld is ruitjespapier, met om en om in elk vierkantje een horizontaal of verticaal streepje (hierbij lopen de kortste translatievectoren diagonaal)

Een p4-patroon kan beschouwd worden als schaakbordpatroon van herhaling van twee vierkante tegels, elk met rotatiesymmetrie van orde 4. Bij p4mm hebben beide tegels afzonderlijk extra symmetrie, bij p4gm zijn ze elkaars spiegelbeeld.

Ruiten of zeshoeken[bewerken]

13. Groep p3 (ook 333)

Behangpatroongroep p3

14. Groep p3m1 (ook *333)

Behangpatroongroep p3m1

15. Groep p31m (ook 3*3)

Behangpatroongroep p31m

16. Groep p6 (ook 632)

Behangpatroongroep p6

17. Groep p6mm (ook *632 of p6m)

Behangpatroongroep p6mm

Deze patronen geven herhaling van twee gelijkzijdige driehoekige tegels, elk met rotatiesymmetrie (uiteraard van orde 3). Bij p3m1 hebben beide tegels afzonderlijk extra symmetrie, bij p31m zijn ze elkaars spiegelbeeld. Uitgaande van p3 geldt bij p6 voor een derde van de rotatiepunten de sterkere eigenschap dat ze niet van orde 3 maar van orde 6 zijn: het kan daarbij gaan om de hoekpunten van beide driehoeken, of het midden van een van beide[1]. In het eerste geval zijn de twee tegels gelijk en is alleen de stand omgekeerd; het patroon geeft dus herhaling van één gelijkzijdige driehoekige tegel met rotatiesymmetrie van orde 3; de rotatiepunten van orde 6 zijn de hoekpunten. Bij p6m heeft deze ene tegel ook nog extra symmetrie.

Externe link[bewerken]