Costil werd geboren in Caen en sloot zich aan bij stadsclub SM Caen. Hij speelde tien wedstrijden in de Ligue 1, maar moest meestal op de bank plaatsnemen. Gedurende het seizoen 2008/2009 werd hij uitgeleend aan Vannes, dat toen in de Ligue 2 actief was. Op 19 juni 2009 tekende hij een tweejarig contract bij Sedan. Bij die club speelde hij 76 competitiewedstrijden. Hij werd tot beste doelman van de Ligue 2 uitgeroepen tijdens het seizoen 2010/2011. Op 14 juni 2011 tekende hij als transfervrije speler een driejarig contract bij Stade Rennais. Die transfer betekende een terugkeer naar de hoogste divisie van Frankrijk, waar hij eerder met SM Caen een handvol wedstrijden speelde maar meestal als tweede doelman werd gebruikt. Sinds 2017 is Costil eerste doelman van Girondins de Bordeaux.
In 2008 speelde Costil twee interlands in het Frans voetbalelftal onder 21. Sinds 2014 is hij meermaals opgenomen in de selectie van het Frans voetbalelftal, maar hij kwam nog geen enkele keer in actie. Op 12 mei 2016 werd Costil door bondscoach Didier Deschamps opgenomen in de selectie voor het Europees kampioenschap voetbal in eigen land. Hij was de enige speler in de selectie die nog niet zijn debuut had gemaakt.[1]
Frankrijk
