Bereik (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is het bereik van een functie de verzameling van alle functiewaarden. Het bereik wordt soms ook het beeld, of meer precies, het beeld van het domein van de functie genoemd.

Het begrip bereik wordt ook wel gebruikt om het verschil aan te geven tussen de kleinste en de grootste getallen in een verzameling, waar alle elementen reële getallen zijn. Als een functie een surjectie is, dan is het bereik van deze functie gelijk aan het codomein van deze functie.

Wanneer een functie wordt weergegeven in een tweedimensionaal cartesisch coördinatensysteem, wordt het bereik weergegeven op de ordinaat (dat wil zeggen op de y-as).

Voorbeelden[bewerken]

Laat f een functie zijn op de reële getallen f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} gedefinieerd door f(x) = 2x. Deze functie heeft enig reëel getal als argument en vermenigvuldigt dit met 2. Elk reëel getal kan dus als functiewaarde optreden, want het is de functiewaarde bij het argument dat de helft van de functiewaarde is. Dus is het bereik van f gelijk aan (-∞, ∞).

De volgende functie vermenigvuldigt net als bovenstaande functie f het argument met 2: g\colon \mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}, g(x) = 2x. Het domein van g is hier echter beperkt tot de positieve reële getallen. Hoewel het codomein van g, net als dat van f, gelijk is aan \mathbb{R}, en elk willekeurig reëel getal dus een toegestane waarde is voor g(x), is het bereik slechts een deel van het codomein. Het vermenigvuldigen van enig positief reëel getal met 2 zal altijd een ander positief reëel getal opleveren, het bereik van g is dus (0, ∞).

In het volgende voorbeeld bestaat het domein weliswaar uit alle reële getallen, maar is de functie zodanig dat niet elk reëel getal als functiewaarde kan optreden. De functie h is gedefinieerd door: h\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, h(x) = x^2. Hier kan het argument weer enig reëel getal zijn, maar kwadrateren daarvan levert altijd een niet-negatief getal op. Aangezien elk niet-negatief getal een kwadraat is van een reëel getal, is het bereik dus [0, ∞).

Zie ook[bewerken]