Bijectie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een bijectie tussen verzamelingen en Y.

In de wiskunde is een bijectie of bijectieve afbeelding een afbeelding die zowel injectief als surjectief is, en dus alle elementen van twee verzamelingen in een-op-eencorrespondentie aan elkaar koppelt. Bijectief wil dus zeggen (zie plaatje rechts) dat elk element uit de verzameling gekoppeld is aan precies één element uit de verzameling en dat omgekeerd ook elk element van de verzameling gekoppeld is aan precies één element uit de verzameling .

Een bijectie van de verzameling op de verzameling heeft een inverse functie van naar . Als en eindige verzamelingen zijn, betekent het bestaan van een bijectie dat beide verzameling hetzelfde aantal elementen hebben. Voor oneindige verzamelingen is het ingewikkelder; het leidt tot het concept van een kardinaalgetal, een manier om te onderscheiden tussen de verschillende grootten van oneindige verzamelingen.

Een bijectieve functie van een verzameling op zichzelf wordt wel een permutatie genoemd.

Bijectieve functies zijn essentieel voor veel deelgebieden binnen de wiskunde, waaronder de definities van isomorfisme, homeomorfisme, diffeomorfisme en permutatiegroep.

De term 'bijectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie[bewerken]

Een bijectie tussen twee verzamelingen en (niet noodzakelijk verschillend), is een functie of afbeelding:

die injectief is, dus verschillende elementen uit afbeeldt op verschillende elementen uit en ook surjectief is, dus alle elementen in aan een element van koppelt, dus waarvoor geldt:

  • uit volgt
  • voor alle is er een met

Gelijkmachtigheid[bewerken]

In de verzamelingenleer worden twee verzamelingen gelijkmachtig of equipotent genoemd als er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat. Zo worden de verzamelingen en gelijkmachtig genoemd, omdat de afbeelding met , bijectief is.

Voor eindige verzamelingen is het begrip gelijkmachtig dus precies hetzelfde als "evenveel elementen". Voor oneindige verzamelingen echter wordt het begrip "evenveel elementen" vaag, maar gelijkmachtig of equipotent niet. Cantor was de eerste die verzamelingen op deze manier met elkaar vergeleek.

Zo zijn de verzameling van de natuurlijke getallen en de verzameling van de gehele getallen gelijkmachtig want het is mogelijk een bijectie tussen beiden te vinden. Neem de volgende afbeelding van naar :

  • 0 wordt op 0 afgebeeld
  • een even natuurlijk getal wordt op zijn helft afgebeeld: bijvoorbeeld: 4 wordt afgebeeld op 2
  • bij een oneven natuurlijk getal wordt eerst 1 opgeteld, en wordt dit resultaat gedeeld door -2: bijvoorbeeld: 5 wordt afgebeeld op -3

Meer algemeen:

Dit is een bijectie want elk natuurlijk getal heeft een eenduidig beeld, en elk geheel getal wordt precies één keer bereikt. Ook de verzameling van rationale getallen is gelijkmachtig met deze twee. De verzameling van reële getallen is echter niet gelijkmachtig met de drie vorige, maar dan wel met voor elke gehele waarde van n groter dan 0.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden[bewerken]

Voorbeeld 1[bewerken]

, met

De functie is een bijectie: 1 wordt aan -7 gekoppeld, 2 aan 3 en 3 aan 10. Geen enkel element uit B blijft over, en geen enkel element uit wordt aan 2 elementen uit gekoppeld.

Voorbeeld 2[bewerken]

, met

Ook deze functie is een bijectie. Zo wordt bijvoorbeeld 2,5 aan 3 gekoppeld, 2,9 aan 3,8, en 3 aan 4. Een andere bijectieve afbeelding tussen deze verzamelingen en is:

Tegenvoorbeeld 1[bewerken]

, met

Dit is geen bijectie, enerzijds omdat -7 niet gekoppeld wordt en dus is ze niet surjectief, en anderzijds omdat 3 aan zowel 1 als 2 gekoppeld wordt, is ze niet injectief. Een bijectie is zowel injectief als surjectief, hieruit volgt dat niet bijectief is.

Tegenvoorbeeld 2[bewerken]

, met

Dit is geen bijectie. Het is wel zo dat elk element van gekoppeld wordt aan een element van , maar sommige elementen van worden aan twee verschillende elementen van gekoppeld. Zo is bijvoorbeeld .

Tegenvoorbeeld 3[bewerken]

, met

Dit is geen bijectie, want is niet surjectief omdat niet alle elementen uit worden gekoppeld aan een element uit . Het element 0 in bijvoorbeeld is van geen enkel element uit het beeld. De functie is wel injectief, want geen twee elementen uit worden gekoppeld aan hetzelfde element van .

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]