Bijectie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een bijectie tussen verzamelingen X en Y.

In de wiskunde is een bijectie of bijectieve afbeelding een afbeelding die zowel injectief als surjectief is, en dus alle elementen van twee verzamelingen in een-op-een correspondentie aan elkaar koppelt. Bijectief wil dus zeggen (zie plaatje rechts) dat elk element uit verzameling X gekoppeld is aan een element uit verzameling Y en dat omgekeerd ook elk element van verzameling Y gekoppeld is aan een element uit verzameling X.

Een bijectie van de verzameling X op de verzameling Y heeft een inverse functie uit Y naar X. Als X en Y eindige verzamelingen zijn, dan betekent het bestaan van een bijectie dat beide verzameling hetzelfde aantal elementen hebben. Voor oneindige verzamelingen is het beeld ingewikkelder; het leidt tot het concept van een kardinaalgetal, een manier om te onderscheiden tussen de verschillende grootten van oneindige verzamelingen.

Een bijectieve functie van een verzameling op zichzelf wordt ook wel een permutatie genoemd.

Bijectieve functies zijn essentieel voor veel deelgebieden binnen de wiskunde, waaronder de definities van isomorfisme, homeomorfisme, diffeomorfisme en permutatiegroep.

De term bijectieve afbeelding werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie[bewerken]

Om een exacte koppeling tussen twee verzamelingen X en Y te verkrijgen (waar Y overigens niet hoeft te verschillen van X), moet aan vier eigenschappen worden voldaan:

  1. Elk element uit X moet aan ten minste één element uit Y zijn gekoppeld,
  2. Geen element uit X kan aan meer dan één element uit Y zijn gekoppeld,
  3. Elk element uit Y moet aan ten minste één element uit X zijn gekoppeld,
  4. Geen element uit Y kan aan meer dan één element uit X' zijn gekoppeld.

Indien aan eigenschappen (1) en (2) wordt voldaan betekent dat een bijectie een functie is met domein X. Het is gebruikelijker om eigenschappen (1) en (2) in één eigenschap te combineren: elk element van X wordt aan precies één element van Y gekoppeld. Van functies die aan eigenschap (3) voldoen wordt gezegd dat zij "op-en-naar Y zijn; zij worden surjecties (of surjectieve functies) genoemd. Van functies die aan eigenschap (4) voldoen, wordt gezegd dat ze "een-op-een functies" zijn; zij worden injecties (of injectieve functies) genoemd.[1] In deze terminologie is een bijectie een functie, die zowel een surjectie als een injectie is; of, met andere woorden, een bijectie is een functie die zowel "een-op-een" als "op-en-naar" is.

Gelijkmachtigheid[bewerken]

In de verzamelingenleer worden twee verzamelingen gelijkmachtig of equipotent genoemd als er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat. Bijvoorbeeld worden de verzamelingen \{1,2,3\} en \{4,8,12\} gelijkmachtig genoemd, omdat de afbeelding f:\{1,2,3\}\rightarrow \{4,8,12\} met f(x)=x\cdot 4, bijectief is.

Voor eindige verzamelingen is het begrip gelijkmachtig dus precies hetzelfde als "evenveel elementen". Voor oneindige verzamelingen echter wordt het begrip "evenveel elementen" vaag, maar gelijkmachtig of equipotent niet. Cantor was de eerste die verzamelingen op deze manier met elkaar vergeleek.

Zo zijn de verzameling van de natuurlijke getallen en de verzameling van de gehele getallen gelijkmachtig want het is mogelijk een bijectie tussen beiden te vinden. Neem de volgende afbeelding van \mathbb{N} naar \mathbb{Z}:

  • 0 wordt op 0 afgebeeld
  • een even natuurlijk getal wordt op zijn helft afgebeeld: bijvoorbeeld: 4 wordt afgebeeld op 2
  • bij een oneven natuurlijk getal wordt eerst 1 opgeteld, en wordt dit resultaat gedeeld door -2: bijvoorbeeld: 5 wordt afgebeeld op -3

Meer algemeen:

2n \, \mapsto \, n \quad \mbox{en} \quad  2n+1 \, \mapsto \, -n-1 \!

Dit is een bijectie want elk natuurlijk getal heeft een eenduidig beeld, en elk geheel getal wordt precies één keer bereikt. Ook de verzameling van rationale getallen \mathbb{Q} is gelijkmachtig met deze twee. De verzameling van reële getallen \mathbb{R} is echter niet gelijkmachtig met de drie vorige, maar dan wel met \mathbb{R}^n voor elke gehele waarde van n groter dan 0.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden[bewerken]

Voorbeeld 1[bewerken]

A = \{1, 2, 3\}
B = \{-7, 3, 10\}
f: A \to B
f(1) = -7
f(2) =  3
f(3) = 10
Deze f is een bijectie: 1 wordt aan -7 gekoppeld, 2 aan 3 en 3 aan 10. Geen enkel element uit B blijft over, en geen enkel element uit B wordt aan 2 elementen uit A gekoppeld.

Voorbeeld 2[bewerken]

A = [2, 3]
B = [2, 4]
f: A \to B
f(x) = 2x-2
Ook deze f is een bijectie. Zo wordt bijvoorbeeld 2.5 aan 3 gekoppeld, 2.9 aan 3.8, en 3 aan 4. Een andere bijectieve afbeelding tussen deze A en B is:
g(x) = x^2 - 3x + 4

Tegenvoorbeeld 1[bewerken]

A = {1,2,3}
B = {-7, 3, 10}
f: A → B
f(1)=3
f(2)=3
f(3)=10
Dit is geen bijectie, enerzijds omdat -7 niet gekoppeld wordt en dus is ze niet surjectief, en anderzijds omdat 3 aan zowel 1 als 2 gekoppeld wordt, is ze niet injectief. Een bijectie is zowel injectief als surjectief, hieruit volgt dat f niet bijectief is.

Tegenvoorbeeld 2[bewerken]

A = [-1,0,1]
B = [0,1]
f: A → B
f(x) = x^2
Dit is geen bijectie. Het is wel zo dat elk element van B gekoppeld wordt aan een element van A, maar sommige elementen van B worden aan twee verschillende elementen van A gekoppeld. Zo is bijvoorbeeld f(-1)=1, maar ook f(1)=1.

Tegenvoorbeeld 3[bewerken]

A = [0,1]
B = [0,2]
f: A → B
f(x) = x+1
Dit is geen bijectie. Niet alle elementen uit B worden namelijk gekoppeld aan een element uit A, zoals bijvoorbeeld 0. Het is wel zo, dat de elementen uit B die gekoppeld worden aan een element van A, ook maar aan precies 1 element van A gekoppeld worden.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. . Er bestaan ook namen die geassocieerd worden met eigenschappen (1) en (2). Een relatie die aan eigenschap (1) voldoet wordt een totale relatie genoemd en een relatie die voldoet aan eigenschap (2) is een enkel gewaardeerde relatie.