Bilineaire vorm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een bilineaire vorm B op een vectorruimte V over een lichaam (Ned) / veld (Be) K van scalairen een bilineaire afbeelding B:V\times V \to K. Een bilineaire vorm B is dus lineair in elk argument afzonderlijk:

\begin{array}{l}
\text{1. }B(u + u',v) = B(u,v) + B(u',v)\text{,} \\[4pt]
\text{2. }B(u,v + v') = B(u,v) + B(u,v')\text{,} \\[4pt]
\text{3. }B(\lambda u,v) = B(u, \lambda v) = \lambda\,B(u,v)\text{.} \\[4pt]
\end{array}

Elke bilineaire vorm op K^n kan met behulp van een n\times n-matrix A=(a_{ij}) worden uitgedrukt als

B(x,y) = x^\top Ay= \sum_{i,j=1}^n x_ia_{ij} y_j


De definitie van een bilineaire vorm kan eenvoudig worden uitgebreid naar modulen over een commutatieve ring, waar lineaire afbeeldingen worden vervangen door modulehomomorfismen. Als K=\C (de complexe getallen) is men vaak meer geïnteresseerd in sesquilineaire vormen, die vergelijkbaar zijn met bilineaire vormen, maar die conjugaat lineair in een argument zijn.