Categorie (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Dit artikel slaat op het begrip categorie uit de wiskundige categorietheorie. Voor het topologische begrip met dezelfde naam, zie categorie (topologie).

In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een categorie een klasse van objecten met overeenkomstige structuur, en morfismen tussen die objecten die de overeenkomst tussen de objecten symboliseren. De categorietheorie is een zeer abstracte theorie, die behoort tot de wiskundige logica, en door zijn algemeenheid toegepast kan worden op vele andere wiskundige gebieden, zoals de topologie, de verzamelingenleer, de groepentheorie en de algebra. Een aantal stellingen en definities binnen deze takken van wiskunde blijken slechts in termen van de objecten en afbeeldingen ertussen te kunnen worden uitgedrukt.

Voorbeeld[bewerken]

In de categorie van groepen zijn de objecten alle groepen, en de afbeeldingen zijn de homomorfismen tussen de groepen, afbeeldingen die de structuur van de groep behouden. Bij ieder homomorfisme hoort een domein, de groep waarop het homomorfisme gedefinieerd is, en een codomein, de groep waarin het homomorfisme afbeeldt. Bij elke groep bestaat het isomorfisme van die groep naar zichzelf, de identieke afbeelding die bij dat object hoort. Verder kunnen twee homomorfismen samengesteld worden tot een nieuw homomorfisme.

Definitie[bewerken]

Een categorie bestaat uit een klasse objecten, meestal aangegeven met hoofdletters A,B,C, ..., een klasse morfismen, meestal aangegeven met kleine letters f,g,h, ... en vier operaties. De eerste twee operaties wijzen elk aan ieder morfisme een object toe, het domein en het codomein. De derde operatie wijst bij ieder object een uniek morfisme aan, het eenheidsmorfisme. De vierde operatie, de samenstelling, geeft bij elk tweetal morfismen, waarbij het domein van het ene het codomein van het andere is, een nieuw morfisme, de samenstelling. Notatie: voor het domein en codomein van een morfisme f schrijven we respectievelijk dom(f) en codom(f), voor het eenheidsmorfisme van het object A schrijven we 1_A en voor de samenstelling van de morfismen f en g, waarbij dom(f)=codom(g), schrijven we f\circ g ('f na g'), of kortweg fg. Aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

Een morfisme f, met \mathrm{dom}(f)=D en \mathrm{codom}(f)=C, wordt, in analogie met een afbeelding, vaak genoteerd met een pijl: f:D\to C of als D\stackrel{f}{\to} C.

De klasse objecten en de klasse morfismen zijn meestal te groot om formeel als verzameling te kunnen worden opgevat. Als ze allebei toch echte verzamelingen zijn, spreekt men soms van een kleine categorie.

Voorbeelden[bewerken]

Onderstaande tabel geeft de standaardnamen van enkele veel bestudeerde categorieën.

Categorie Objecten Morfismen
Set Verzamelingen Afbeeldingen
Grp Groepen Homomorfismen
Ab Abelse groepen Homomorfismen
Top Topologische ruimten Continue afbeeldingen

Als V een verzameling is en R een relatie tussen V en V die reflexief en transitief is, dan kunnen de elementen van V worden opgevat als objecten van een kleine categorie en de koppels van R als de morfismen van die categorie.

Referenties[bewerken]

Externe links[bewerken]