Centrum (groepentheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra is het centrum van een groep de verzameling van elementen in die commuteren met alle elementen van . Dat is:

.

Het centrum is een ondergroep van , want

  1. is niet leeg omdat voor het eenheidsselement van geldt: voor alle , dus
  2. is gesloten onder de bewerking, omdat voor alle geldt: voor elke
  3. Van elke is ook de inverse , omdat elke .

Verder is een abelse ondergroep van , een normaaldeler van en zelfs een strikte karakteristieke ondergroep van , maar niet altijd volledig karakteristiek. Het centrum van een groep is ook de doorsnede van de centralisators van alle elementen van de groep.

Het centrum van is gelijk aan dan en slechts dan als een abelse groep is. Het andere uiterste is een groep waarvan het centrum triviaal is, dat wil zeggen alleen uit het eenheidselement bestaat; indat geval heet centrumloos.

Conjugatie[bewerken]

Voor elk element is er een speciaal automorfisme van , gedefinieerd door:

.

Een element dat met commuteert, wordt door op zichzelf afgebeeld.

Van het groepshomomorfisme van naar de groep van automorfismen van , gedefinieerd door

is de kern precies het centrum van , en het beeld is de groep van inwendige automorfismen van , genoteerd als . Als gevolg van de eerste isomorfismestelling geldt:

.

De cokern van deze afbeelding is de groep van uitwendig automorfismen, en deze vormen de exacte rij:

Voorbeelden[bewerken]

  • Het centrum van de groep van inverteerbare n×n-matrices over het veld(B)/lichaam(NL) is de collectie van scalaire matrices .
  • Het centrum van de orthogonale groep is .
  • Het centrum van de quaternionengroep is .
  • Het centrum van de multiplicatieve groep van niet-nulzijnde quaternionen is de multiplicatieve groep van de niet-nulzijnde reële getallen.
  • Niet-abelse enkelvoudige groepen hebben geen centrum.

Hogere centra[bewerken]

Wanneer men het centrum van een groep wegdeelt verkrijgt men een volgorde van groepen die men de hogere centrale reeksen noemt

De kern van deze afbeelding is het i-de centrum van G (tweede centrum, derde centrum, etc.). Deze kern wordt aangegeven door . Deze definitie volgend, kan men het 0-de centrum van een groep definiëren door de identiteitssubgroep. Dit kan worden doorgevoerd naar de transfiniete ordinalen door transfiniete inductie; de vereniging van alle hogere centra van een groep wordt het hypercentrum genoemd.[1]

De stijgende keten van subgroepen

stabiliseert op i (equivalent, ) dan en slechts dan als is centrumloos.

Voorbeelden[bewerken]

  • Voor een centrumloze groep zijn alle hogere centra nul, wat een geval van stabilisatie is.
  • In het lemma van Grün is het quotiënt van een perfecte groep door zijn centrum centrumloos, waardoor men kan stellen dat alle hogere centra gelijk zijn het centrum van de groep. Dit is een geval van stabilisatie op .

Referenties[bewerken]

  1. Deze vereniging zal transfiniete termen inhouden als de UCS (upper central series, hogere centrale reeks) niet stabiliseert tijdens een eindige stap.

Zie ook[bewerken]