Cirkel van Taylor

cirkel van Taylor

De cirkel van Taylor is een bijzondere cirkel in een driehoek. Neemt men van een driehoek ABC de voetpuntsdriehoek A'B'C', en van de hoekpunten van A'B'C' weer de voetpunten op de andere twee zijden, dan krijgt men zes punten die op een cirkel liggen.

De cirkel van Taylor is naar Henry Martin Taylor (1842-1927) vernoemd.

Eigenschappen

De lijn A₂A₃ is antiparallel aan BC ten opzichte van AB en AC en juist evenwijdig aan B'C'. Evenzo zijn B₂B₃ en C₂C₃ antiparallel aan de corresponderende zijde ten opzichte van de twee overige zijden en evenwijdig aan de corresponderende zijden van de voetpuntsdriehoek. De drie lijnstukken A₂A₃, B₂B₃ en C₂C₃ zijn bovendien even lang, de lengte is gelijk aan de oppervlakte van ABC gedeeld door de straal van de omgeschreven cirkel van ABC. De cirkel van Taylor is daarmee een Tuckercirkel.

Straal

De straal van de cirkel van Taylor is

$R_{T}=R{\sqrt {\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta \cos ^{2}\gamma }},$

waar R de straal van de omgeschreven cirkel is.

Middelpunt

Het middelpunt van de cirkel van Taylor heeft barycentrische coördinaten

$(\ \sin \alpha \ (\cos \alpha -\cos 2\alpha \cos(\beta -\gamma )\ )\ :\ \sin \beta \ (\cos \beta -\cos 2\beta \cos(\gamma -\alpha )\ )\ :\ \sin \gamma \ (\cos \gamma -\cos 2\gamma \cos(\alpha -\beta )\ )\ )$,

ligt op de Brocard as en is het driehoekscentrum met Kimberlingnummer X(389).