Commutatieve ring

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de ringtheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een commutatieve ring een ring, waarin de bewerking die overeenkomt met de vermenigvuldiging, commutatief is. Dit houdt in dat voor willekeurige elementen en van de ring geldt: . De studie van commutatieve ringen wordt de commutatieve algebra genoemd.

Merk op dat een commutatieve ring voorkomt in de onderstaande keten van deelverzamelingen:

lichamen (Nederlands) of velden (Belgisch)euclidische domeinenhoofdideaaldomeinenunieke factorisatiedomeinenintegriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringen ⊂ ringen.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Zie Ring (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een ring is een verzameling die is uitgerust met twee binaire operaties, dat wil zeggen bewerkingen, die een willekeurige combinatie van twee elementen van de ring tot een derde element combineren. De twee bewerkingen worden optellen en vermenigvuldigen genoemd en worden vaak aangeduid met "+" en "⋅", bijvoorbeeld en . Daarbij wordt de "⋅" ook vaak eenvoudigheidshalve weggelaten. Om een ring te vormen moeten deze twee operaties voldoen aan een aantal eigenschappen: de ring moet onder optelling een abelse groep en onder vermenigvuldiging een monoïde zijn, zodanig dat de vermenigvuldiging en de optelling distributief zijn, dat wil zeggen dat voor alle en :

en

De neutrale elementen voor optellen en vermenigvuldigen worden respectievelijk aangeduid door 0 en 1. Als bovendien ook de vermenigvuldiging commutatief is, dat wil zeggen dat voor en :

,

dan wordt de ring commutatief genoemd.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

  • Het belangrijkste voorbeeld van een commutatieve ring zijn de gehele getallen met de twee operaties van optellen en vermenigvuldigen. De gewone vermenigvuldiging van getallen is commutatief. Deze ring wordt in de literatuur meestal aangeduid met , van het Duitse woord Zahlen voor getallen.
  • De rationale, reële en complexe getallen vormen commutatieve ringen, maar zijn in feite ook lichamen/velden.
  • Meer in het algemeen geldt dat elk lichaam/veld een commutatieve ring is. De klasse van lichamen/velden is dus een deelverzameling van de verzameling van commutatieve ringen.
  • Een voorbeeld van een niet-commutatieve ring is de verzameling van alle 2×2-matrices, waarvan de elementen gehele getallen zijn.
is niet gelijk aan de vermenigvuldiging die in tegengestelde volgorde wordt uitgevoerd:
Waarvoor de matrixvermenigvuldiging nodig is.
Deze matrices zijn ook geen integriteitsdomein:
  • Als een gegeven commutatieve ring is, dan is de verzameling van alle polynomen in de variabele , waarvan de coëfficiënten in liggen, een polynoomring, aangeduid met .