Conchoïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de meetkunde is een conchoïde ("schelpachtige", van Grieks: κόγχος (kogchos), schelp) een vlakke kromme die de baan beschrijft van een punt dat vanuit een vast punt - de pool - gezien, op een vaste gegeven afstand ligt van een gegeven kromme. Een conchoïde bestaat dus uit twee delen: het deel met de punten die gezien vanuit de pool vóór de kromme liggen en het deel dat achter de kromme ligt.

Definitie[bewerken]

Constructieprincipe van een conchoïde: vanuit een vast richtpunt worden naar elk punt van de richtcurve een rechte getekend. Op die rechte kiest men telkens de twee punten op een vaste afstand van het punt op de richtcurve.

De conchoïde die wordt voortgebracht door een richtcurve K, een punt P, de pool, dat niet op de richtcurve ligt en een afstand d, is de verzameling punten die op de verbindingslijnen van P met een punt op K op een afstand d van dat punt liggen.

Algemene beschrijving[bewerken]

De eenvoudigste manier om een conchoïde te beschrijven is de oorsprong als richtpunt te kiezen, en de richtcurve vervolgens in poolcoördinaten te definiëren. De keuze van de oorsprong als richtpunt doet geen afbreuk aan de algemeenheid. Stel vervolgens dat de richtcurve K wordt gegeven door de relatie:

r=\kappa(\theta),

dan bestaat de conchoïde uit de punten met:

r=\kappa(\theta)\pm d,

Een conchoïde bestaat altijd uit twee takken.

D_1: r = \kappa(\theta) + d
D_2: r = \kappa(\theta) - d

Een typisch kenmerk bij sommige conchoïden vormen de lussen in de pool, dus in de oorsprong. Deze treden op als de voerstraal van de richtcurve voor bepaalde intervallen van de variabele \theta kleiner is dan de constante d. Dit kan voorkomen in de uitdrukking voor D_2 in bovenstaande formules. Indien d echter te groot wordt zullen deze lussen weer verdwijnen, doordat het deel D_2 dan volledig negatief wordt.

De conchoïde van Nicomedes[bewerken]

Drie voorbeelden van de conchoïde van Nicomedes.

De oorspronkelijk vorm van de conchoïde, was van de conchoïde van Nicomedes, die reeds in het oude Griekenland bekend was. Deze eenvoudige conchoïde heeft de oorsprong (0,0) als pool P en een rechte als richtcurve K. Indien de horizontale rechte y = a wordt gekozen, is de vergelijking van deze rechte in poolcoördinaten:

r(\theta) = a \csc(\theta)

zodat de conchoide op afstand d beschreven wordt door:

x(\theta) = ( a \csc(\theta)  \pm d ) \cos(\theta)
y(\theta) = ( a \csc(\theta)  \pm d ) \sin(\theta)

Nevenstaande figuur bevat drie conchoïden van Nicomedes. Alle hebben ze de rechte y = 1 als richtcurve, maar de afstand d neemt drie waarden aan: d = 2 (zwart), d = 1 (blauw) en d = 0,5 (groen). In het algemeen geldt voor een conchoïde van Nicomedes: indien d > a bevat een van de twee delen van de conchoïde een lus in de oorsprong. Voor d = a raakt dat deel de oorsprong, en voor d < a ontstaat er geen lus. Voor elke waarde van d gaan beide delen van elke conchoïde asymptotisch naar de richtcurve.

Algemener voorbeeld[bewerken]

Een algemener voorbeeld van een conchoïde. De rode curve is de richtcurve, de blauwe en de zwarte curve de twee delen van deze conchoïde. Bemerk de twee lussen in de oorsprong.

Indien de richtcurve geen rechte is ontstaan tal van andere vormen als conchoïden. De conchoïde met richtpunt de oorsprong, richtcurve:

r(\theta) = 2{,}5 + \cos(3\theta) + \sin(2\theta)

en met afstandsmaat d = 1,8 staat getekend op nevenstaande figuur.

De waarde van d is hier zodanig gekozen dat twee lussen voorkomen in de oorsprong. Deze ontstaan in de intervallen \theta = [2{,}5394\ldots,3{,}2610\ldots] en \theta= [4{,}8558\ldots,5{,}8005]. Lussen treden bij deze conchoïde op voor waarden van d tussen 0,594039... en 4,405961... Voor d < 0,594039... is de voerstraal van de richtcurve overal groter dan d, zodat ook D2 overal positief is. Voor d > 4,405961... is deze voerstraal overal kleiner dan d zodat D2 overal negatief is en dus de oorsprong niet meer raakt of snijdt.