Conchoïde van De Sluse

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Familie van conchoïdes van De Sluse

Een conchoïde van De Sluse is een vlakke derdegraads[1] kromme die tot de conchoïdes wordt gerekend, hoewel de definiërende, algemene eigenschap van die groep krommen niet overeenkomt met die van de conchoïde van De Sluse.

Deze conchoïde werd in 1662 voor het eerste beschreven door de Waalse theoloog en wiskundige René François Walter, baron De Sluse (1622–1685).[2][3] De kromme wordt voor een vaste, reële waarde van het getal gedefinieerd door de volgende vergelijking in poolcoördinaten:

Voor verschillende waarden van ontstaat dan een familie van conchoïdes van De Sluse, waarvan de parameter is.

Eigenschappen[bewerken]

Synthetische constructie van de conchoïde van De Sluse
  • Uit de poolvergelijking is direct af te leiden dat op de poolas ( is de pool en is een punt van de kromme) een punt zó gelegen moet zijn dat:
en 
  • De vergelijking van de kromme luidt in een standaard euclidisch coördinatenstelsel:
Daaruit blijkt dat het punt een geïsoleerd punt is van élk exemplaar uit de familie dat niet door gaat (). Deze eigenschap is niet af te leiden uit de poolvergelijking.
  • Uit de vergelijking blijkt ook dat de x-as symmetrie-as is van elke conchoïde van de familie.
  • Is , dan ontaardt de conchoïde in een rechte lijn, namelijk de lijn met vergelijking . Deze lijn is de asymptoot van de andere conchoïden in de familie.
  • Voor is het snijpunt van zo’n kromme met de x-as het punt .
  • Als is, dan is het punt een dubbelpunt. De kromme heeft dan een “lus” links van de y-as.
  • De richtkromme van de conchoïde is de lijn met vergelijking (zie de afleiding van de vergelijking).

Constructie[bewerken]

In een standaard euclidisch coördinatenstelsel is de pool en . De lijn met vergelijking is de richtlijn van de conchoïde. is een punt van de eenheidscirkel. De halve lijn snijdt in het punt .
Met is in driehoek : , zodat .
Het punt ligt dan op die lijn met , immers dan is:

Is nu , waarbij in loodrecht staat op , dan is in de R'-rechthoekige driehoek :

, zodat

En hieruit volgt dat:

Het punt is dus met passer en liniaal te construeren. Met andere woorden: élk punt van de conchoïde van De Sluse is met passer en liniaal te construeren.

Als dan de eenheidscirkel doorloopt, is de meetkundige plaats van het punt de beschouwde conchoïde.

Nb. Voor negatieve waarden van beschrijft het R-spiegelbeeld van het op deze manier gevonden punt de conchoïde.

Afleiding van de vergelijking[bewerken]

Voor de coördinaten van het punt geldt:

En dan is voor :

De vergelijking van de poolas is , zodat:

En dit geeft:

Uit de relaties (1) en (2) hierboven blijkt dan door optelling:

zodat inderdaad:

Andere "leden" van de De Sluze-familie[bewerken]

Externe links[bewerken]