Cycloïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Ontstaan van een cycloïde
Enkele cycloïdes

 hypocycloïde

 hypocycloïde

 cardioïde

Een cycloïde, Oudgrieks: κυκλος, cirkel en -ειδες, -achtig,[1] is een wiskundige figuur, die gevormd wordt door het pad dat wordt afgelegd door een punt op een cirkel, als deze cirkel over een rechte lijn rolt.

De baan die een punt van een cirkel volgt, als de cirkel niet langs een lijn rolt, maar langs een andere figuur wordt ook cycloïde genoemd.

Gezien als een wiel, dat zich over een vlakke weg voortbeweegt, draait op het moment waar het punt het wegdek raakt, de snelheid van van richting om en staat het punt stil. Alle andere punten op het wiel draaien op dat moment wel door. Het stilstaande punt wordt de momentane pool, of het 'ogenblikkelijk rotatiecentrum' genoemd.

Wiskundige beschrijving[bewerken]

De cycloïde uit de figuur wordt met behulp van de parameter beschreven door de vergelijkingen:

met daarin de straal van de cirkel.

Enkele eigenschappen:

  • De oppervlakte onder een boog van een cycloïde is driemaal die van de vormende cirkel (Gilles Personne de Roberval, 1634).
  • De lengte van een boog is viermaal de diameter van de vormende cirkel, dus de hoogte van de cycloïde (Christopher Wren, 1658).
  • De cycloïde geeft de lijn van een Brachistochrone kromme, dat wil zeggen, een (kleine) bal, die vanuit stilstand van een hoger naar een lager punt rolt, bereikt het doel het snelste als het langs een cycloïde beweegt.
  • Een bal die in een cycloïde rolt vanuit stilstand, is in dezelfde tijd beneden voor alle punten op de cycloïde. Deze tautochrone kromme is ook de vorm van de 'ideale slingerbeweging', waarbij de slingertijd onafhankelijk is van de uitwijking van de slinger.
  • De evolute van een cycloïde is weer een cycloïde met exact dezelfde afmeting. Ze ligt in horizontale richting een halve periode verschoven tegenover de oorspronkelijke cycloïde. In verticale richting ligt de evolute lager. Elk boog van de evolute gaat op haar hoogste punt door de keerpunten van de oorspronkelijke cycloïde. Zo ondersteunt de evolute als het ware de cycloïde waaruit ze ontstaan is.

Geschiedenis[bewerken]

De cycloïde werd voor het eerst bestudeerd door Nicolaas van Cusa en later door Mersenne. Galileo Galilei bedacht de naam cycloïde in 1599. De Roberval toonde in 1634 aan dat het oppervlak onder een cycloïde precies drie keer de oppervlakte van haar genererende cirkel is, terwijl Christopher Wren in 1858 liet zien dat de lengte van een cycloïde precies vier keer de diameter van haar genererende cirkel is. De cycloïde werd later ook door de wiskundigen Evangelista Torricelli, Blaise Pascal, Christiaan Huygens, Johann Bernoulli, Isaac Newton, Leibniz, Jakob Bernoulli en L'Hôpital bestudeerd. De cycloïde werd ook wel De Helena van de meetkundigen genoemd, naar Helena van Troje, aangezien zij verschillende ruzies tussen 17e-eeuwse wiskundigen veroorzaakte.

Verwante curven[bewerken]

Deltoïde
Hypocycloïde met omtrekverhouding 2:1
Trochoïde

Hypocycloïde[bewerken]

Een hypocycloïde is de cycloïde, die wordt geschreven wanneer een kleinere cirkel aan de binnenkant een grotere cirkel volgt. De deltoïde is er daar een van. Als men een punt kiest dat niet op maar binnen de kleinere cirkel ligt, dan wordt het resultaat een trochoïde genoemd. Een spirograaf schrijft trochoïden.

Wanneer de verhouding tussen de cirkelomtrekken een rationaal getal is, resulteert een rozet, zoals bij de deltoïde. Is de verhouding tussen de omtrekken een niet-rationaal getal, dan ontstaat een tussenvorm tussen rotatiesymmetrie van eindige orde en rotatiesymmetrie over iedere hoek: in een animatie is de figuur nooit af, er komen steeds lussen bij.

Geschiedenis[bewerken]

De hypocycloïde, Grieks: ὑπό, hupo, onder, werd in 1599 door Galilei ontdekt en daarna in 1525 door Albrecht Dürer, in 1674 door Rømer en in 1725 door Daniel Bernoulli bestudeerd.

Kenmerken[bewerken]

Legenda:
 : omtrek van de buitencirkel
 : omtrek van de binnencirkel

Als als quotiënt van gehele getallen[2] wordt uitgedrukt is het aantal lobben van de rozet en het aantal omwentelingen waarin de figuur wordt voltooid.

De kromme wordt gedefinieerd door een parametervergelijking, waarbij:

met de straal van de basiscirkel en de straal van de draaiende cirkel. Dit kan eenvoudig uitgedrukt worden in de verhouding van de beide stralen:

Toepassingen[bewerken]

  • De slinger van Foucault volgt deze kromme.
  • Bij cirkels met een omtrekverhouding van 2:1 vormt de hypocycloïde een rechte lijn. Daarmee kan een draaiende beweging omgezet worden in een lineaire beweging.
  • De trochoïde is te tekenen met een spirograaf. Deze wordt gebruikt voor het ontwerpen van geometrische patronen en als speelgoed.

Epicycloïde[bewerken]

Een epicycloïde.
Cardioïde

Dit is de kromme die een punt op een cirkel aflegt die over een grotere cirkel rolt. Het is een voorbeeld van een epicykel.

Twee voorbeelden:

Hierin is de straal van de grote cirkel, van de kleine cirkel.

Geschiedenis[bewerken]

Er werd al in de klassieke oudheid aan epicycloïden, Oudgrieks: επί, epi, op, gerekend: Aristoteles en Ptolemaeus gebruikten deze kromme en de epicykels om de beweging van de planeten in hun geocentrisch systeem te kunnen verklaren.

De kromme werd verder nog bestudeerd door Rømer (1674), Girard Desargues, Charles Stephen, Daniel Bernoulli (1725), Dürer, Huygens, Leibniz, L'Hôpital, Euler, Halley, Isaac Newton. Deze laatste behandelde de lengte van de epicycloïden in zijn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Vergelijking[bewerken]

Epicykels kunnen door een parametervergelijking worden gedefinieerd:

met de straal van de basiscirkel en de straal van de draaiende cirkel. Dit kan in de verhouding van de beide stralen:

worden uitgedrukt. Deze definitie lijkt dus veel op die van een hypocycloïde.

Epizykloiden.png

Voetnoten[bewerken]

  1. vorm, gedaante
  2. zonder gemeenschappelijke delers
  3. Deze heeft in poolcoördinaten de vergelijking , of in cartesiaanse coördinaten .

Externe links[bewerken]