Cykel (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cykel een permutatie van de elementen van enige verzameling X, die de elementen van enige deelverzameling S van X op een cyclische manier op elkaar afbeeldt. Daarbij blijven alle andere elementen op hun plaats (dat wil zeggen dat zij op zichzelf worden afgebeeld). De verzameling S wordt de baan van de cykel genoemd.

Definitie[bewerken]

Een permutatie van een verzameling X, die een bijectieve functie \sigma:X\to X is, wordt een cykel genoemd, indien de actie op X van de deelgroep, gegenereerd door \sigma precies één baan heeft met meer dan één element. Dit begrip wordt meestal gebruikt wanneer X een eindige verzameling is. Dit aangezien de baan S dan ook eindig is. Laat s_0 enig element van S zijn, en zet s_i = \sigma^i(s) \, voor enige i\in\mathbf{Z}. Aangezien is aangenomen dat S meer dan één element heeft is s_1\neq s_0; als S eindig is, bestaat er een minimaal getal k>1, waarvoor s_k=s_0. Dan geldt S=\{ s_0, s_1, \ldots, s_{k-1}\} en is \sigma de permutatie die wordt gedefinieerd door

\sigma(s_i) = s_{i+1} \quad\mbox{voor }0\leq i<k

en is \sigma(x)=x voor enig element van X\setminus S. De elementen die niet zijn vastgepind door \sigma kunnen worden afgebeeld als

s_0\mapsto s_1\mapsto s_2\mapsto\cdots\mapsto s_{k-1}\mapsto s_k=s_0.

Een cykel kan in de compacte cykelnotatie \sigma = (s_0~s_1~\dots~s_{k-1}) worden geschreven (in deze notatie wordt geen gebruik genmaakt van komma's tussen de elementen, dit om verwarring met een k-tupel te vermijden). De lengte van een cykel is het aantal elementen van haar baan van niet-vaste elementen. Een cykel van lenge k wordt ook wel een k-cykel genoemd.

Basiseigenschappen[bewerken]

Een van de fundamentele resultaten voor symmetrische groepen zegt dat elke permutatie kan worden uitgedrukt als een product van disjuncte cykels (meer precies: cykels met disjuncte banen); deze cykels commuteren met elkaar, en de uitdrukking van de permutatie is uniek up to de orde van de cykels (maar merk op dat de cykelnotatie niet uniek is: elk k-cykel kan, afhankelijk van de keuze van s_0 in zijn baan, zelf op k verschillende manieren worden geschreven). De multiset van lengtes van de cykels in deze uitdrukking wordt daarom uniek bepaald door de permutatie, en zowel het teken als de conjugatieklasse van de permutatie worden er in de symmetrische groep door bepaald.

Het aantal k-cykels in de symmetrische groep Sn wordt voor 2\leq k\leq n, gegeven door de volgende equivalente formules

\binom nk(k-1)!=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k}

Een k-cykel heeft teken (-1)k-1.

Zie ook[bewerken]