Cylindrische algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een cilindrische algebra is een algebraïsche structuur bedacht door Alfred Tarski.

Een cilindrische algebra van dimensie \alpha, waarin \alpha een ordinaal getal voorstelt is een algebraïsche structuur (A,+,\cdot,-,0,1,c_\kappa,d_{\kappa\lambda})_{\kappa,\lambda<\alpha} zodanig dat (A,+,\cdot,-,0,1) een Boolse algebra vormt, c_\kappa een eenheidsbewerking op A voorstelt voor alle \kappa en d_{\kappa\lambda} een verschillend element van A voorstelt voor elke \kappa en \lambda zodanig dat de zeven volgende axioma's gelden:


(C1) c_\kappa 0=0

(C2) x\leq c_\kappa x

(C3) c_\kappa(x\cdot c_\kappa y)=c_\kappa x\cdot c_\kappa y

(C4) c_\kappa c_\lambda x=c_\lambda c_\kappa x

(C5) d_{\kappa\kappa}=1

(C6) Als \kappa\neq\lambda\mu, dan d_{\lambda\mu}=c_\kappa(d_{\lambda\kappa}\cdot d_{\kappa\mu})

(C7) Als \kappa\neq\lambda, dan c_\kappa(d_{\kappa\lambda}\cdot x)\cdot c_\kappa(d_{\kappa\lambda}\cdot -x)=0


De axioma's vallen als volgt te herschrijven:

(C1) \exists \kappa. \mathit{false} \Leftrightarrow \mathit{false}

(C2) x \Rightarrow \exists \kappa. x

(C3) \exists \kappa. (x\wedge \exists \kappa. y) \Leftrightarrow (\exists\kappa. x) \wedge (\exists\kappa. y)

(C4) \exists\kappa \exists\lambda. x \Leftrightarrow \exists \lambda \exists\kappa. x

(C5) \kappa=\kappa \Leftrightarrow \mathit{true}

(C6) Als \kappa een veranderlijke voorstelt verschillend van \lambda en \mu, dan \lambda=\mu \Leftrightarrow \exists\kappa. (\lambda=\kappa \wedge \kappa=\mu)

(C7) Als \kappa en \lambda verschillende veranderlijken voorstellen, dan \exists\kappa. (\kappa=\lambda \wedge x) \wedge \exists\kappa. (\kappa=\lambda\wedge \neg x) \Leftrightarrow \mathit{false}