Delingsalgebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra is een delingsalgebra een algebra over een lichaam waarin, eenvoudig gezegd, deling mogelijk is, behalve natuurlijk door 0.

Definitie[bewerken]

Een algebra over een lichaam/veld wordt een delingsalgebra genoemd als er voor elke twee elementen de vergelijkingen en eenduidige oplossingen hebben.

Een element kan als het ware uitgedeeld worden.

Een associatieve algebra over een lichaam is een delingsgalgebra dan en slechts dan als het een multiplicatief identiteitselement heeft en elke een multiplicatieve inverse heeft.

Associatieve delingsalgebra's[bewerken]

De meest bekende voorbeelden van associatieve delingsalgebra's zijn de eindig-dimensionale reële delingsalgebra's, d.w.z. algebra's over het lichaam van de reële getallen die eindigdimensionaal zijn als een vectorruimte over de reële getallen. De stelling van Frobenius zegt dat er op isomorfisme na slechts drie van zulke algebra's bestaan: de reële getallen zelf (dimensie 1), de complexe getallen (dimensie 2) en de quaternionen (dimensie 4).

De kleine stelling van Wedderburn zegt dat elke eindige delingsalgebra een eindig lichaam/veld is.[1]

Over een algebraïsch gesloten lichaam (bijvoorbeeld de complexe getallen ) zijn er geen eindig-dimensionale associatieve divisiealgebra's, behalve natuurlijk zelf.

Associatieve delingsalgebra's hebben geen nuldelers. Een eindig-dimensionale unitaire associatieve algebra (over elk willekeurig lichaam) is een delingsalgebra dan en slechts dan als deze delingsalgebra's geen nuldelers heeft.

Als een associatieve unitaire algebra over het lichaam en een simpele module over is, dan is de endomorfismering van een delingsalgebra over ; elke associatieve delingsalgebra over treedt op deze manier op.

Het centrum van een associatieve delingsalgebra over het lichaam is een lichaam dat bevat. De dimensie van zo'n algebra over zijn centrum is een perfect kwadraat (tenminste als dit centrum eindig is): het is gelijk aan het kwadraat van de dimensie van een maximaal deellichaam van over het centrum. Gegeven een lichaam , kunnen de (isomorfisme klassen) van associatieve delingsalgebra's, waarvan het centrum is en die eindig-dimensionaal zijn over , in een groep worden omgezet, de Brauer-groep van de lichaam .

Een manier om eindig-dimensionale associatieve delingsalgebra's over willekeurige lichamen te construeren wordt gegeven door de quaternion algebra's (zie ook quaternionen).

Voor eindig-dimensionale associatieve delingsalgebra's zijn de belangrijkste gevallen die waar de ruimte een redelijke topologie heeft. Beschouw bijvoorbeeld de genormeerde delingsalgebra's en Banach-algebra's.

Zie ook[bewerken]