Dichtste bolstapeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Samenvoegen   Ten minste één Wikipediagebruiker vindt dat de onderstaande inhoud, of een gedeelte daarvan, samengevoegd zou moeten worden met Hexagonale dichtste stapeling, of dat er een duidelijkere afbakening tussen deze artikelen dient te worden gemaakt  (hier melden).

In de meetkunde en kristallografie is de dichtste bolstapeling of dichtste stapeling van bollen, ook wel dichtste pakking genoemd, een zodanige configuratie, regelmatig of onregelmatig, van een willekeurig groot aantal identieke bollen, dat geen andere configuratie voor hetzelfde aantal bollen minder ruimte inneemt.

De atomaire pakkingsfactor is het deel van het volume in een kristalstructuur, die door atomen wordt bezet. Het gaat van een harde-bollenmodel uit, waarin de atomen elkaar raken, maar elkaar niet overlappen

Dichtste bolstapelingen worden in de kristalstructuur gevonden van edelgassen en metalen. In veel gevallen komen zowel de kubische als de hexagonale structuur van hetzelfde element voor, omdat het verschil in vrije energie tussen de verschillende metastabiele, allotrope kristalstructuren over het algemeen klein is.

Pakkingsfactor[bewerken | brontekst bewerken]

Men verstaat onder de pakkingsfactor, vullingsfactor of gemiddelde dichtheid van een configuratie van een bolstapeling de verhouding van het volume van de bollen in een eindig deel van de ruimte en het volume van dat deel zelf.

Gauss gaf er een bewijs voor, dat de hoogste pakkingsfactor, die door een roosterschikking kan worden bereikt, gelijk is aan

Het vermoeden van Kepler stelt dat ook de hoogste dichtheid is, die voor enige roosterschikking van bollen kan worden bereikt. Dit vermoeden wordt nu algemeen beschouwd als in 1998 door Thomas Hales te zijn bewezen.[1][2][3]

Hexagonale en tetragonale stapeling[bewerken | brontekst bewerken]

Er zijn drie stapelingen die de maximale pakkingsfactor van ongeveer 0,74 halen.

De eerste is de hexagonale dichtste stapeling. De bollen liggen in het grondvlak in een rooster van driehoeken tegen elkaar aan. De lagen daarboven liggen ten opzichte van de laag daaronder steeds met dezelfde afstand en in dezelfde richting verschoven. Iedere bol is door 12 andere bollen omringd, waarvan de middens allemaal even ver van het midden van afliggen. De eenheidscel van de hexagonale dichtste stapeling is die van het hexagonale kristalstelsel.[4]

De tweede is de tetragonaal dichtste stapeling. De bollen liggen hierin in het grondvlak in een rooster van vierkanten, die weer tegen elkaar aan. De laag daarboven ligt ook hier weer ten opzichte van de grondlaag iets verschoven. Het verschil is dat deze laag iets dieper in de eerste laag kan wegzakken dan bij de hexagonale dichtste stapeling. Dat maakt dat de pakkingsfactor van de kubisch dichtste stapeling dezelfde wordt als die van de hexagonale dichtste stapeling. De laag twee daarboven ligt weer recht boven de eerste laag, maar de bollen van de eerste en de derde laag raken elkaar niet. Het bravaisrooster heet tetragonaal ruimtelijk gecentreerd.[5] Er zijn dus drie bollen in deze stapeling te vinden, waarvan er een, , tegen de beide anderen aan ligt, waarvoor de hoek tussen de twee lijnstukken die met beide andere verbindt, is.

Er is nog een stapeling met de maximale pakkingsfactor. Deze lijkt veel op de hexagonale dichtste stapeling. Wanneer er een nieuwe laag wordt aangebracht, ligt deze niet recht boven een laag drie lagen lager, maar meteen twee lagen. Dat past wel weer in een hexagonaal kristalstelsel, maar de hoogte van de eenheidscel is anders dan bij de hexagonale dichtste stapeling.[6]

Let op het verschil tussen de witte en de zwarte gaten.