Dichtste bolstapeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Stapeling van bollen.
Dichtste stapeling van bollen opgebouwd uit ABAC-lagen.

In de meetkunde en kristallografie is de dichtste stapeling van bollen, soms ook dichtste bolstapeling genoemd (met een barbarisme spreekt men ook wel van "pakking" in plaats van "stapeling") de constructie van een oneindig uitgebreide regelmatige of onregelmatige schikking van identieke bollen, opdat deze bollen het grootst mogelijke deel van een oneindige driedimensionale ruimte innemen.

Ruimtelijke vullingsfactor[bewerken]

Carl Friedrich Gauss bewees, dat de hoogste gemiddelde dichtheid of de hoogste vullingsfactor, die door een regelmatige roosterschikking kan worden bereikt, gelijk is aan

\frac{\pi}{3\sqrt 2} \simeq 0,\!74048.

Deze zelfde pakkingsdichtheid kan ook worden bereikt door afwisselende stapelingen van dezelfde dichtst-gestapelde vlakken van bollen, waaronder structuren die aperiodiek in de stapelrichting zijn.

Het vermoeden van Kepler stelt dat

\frac{\pi}{3\sqrt 2} \simeq 0,\!74048.

ook de hoogste dichtheid is, die voor enige (regelmatige óf onregelmatige) roosterschikking van bollen kan worden bereikt. Dit vermoeden wordt nu algemeen beschouwd als in 1998 te zijn bewezen door Thomas Hales.[1][2][3]

Regelmatige stapelingen[bewerken]

Deze dichtheid wordt bereikt in twee regelmatige, iets verschillende stapelingen van drie opeen volgende lagen: de hexagonale dichtste stapeling (hexagonal close-packed, hcp) en de kubisch vlakgecentreerde stapeling (face-centered cubic, fcc).

Als we ervan uitgaan dat de eerste laag, zoals aangegeven in de figuur rechts, op positie A ligt en de volgende laag op positie B, dan kan de volgende laag op twee verschillende posities op de tweede laag aangebracht worden: op positie A of op positie C. In het eerste geval kan de reeks voortgezet worden als een sequentie ABABA... In het andere geval volgt een sequentie ABCABCA...

  • De AB-stapeling bepaalt een rooster met een hexagonale symmetrie.
  • De ABC-stapeling bepaalt een rooster met kubische symmetrie.

Kristallografie[bewerken]

In de kristallografie worden dichtste bolstapelingen gevonden in de kristalstructuur van edelgassen en metalen. In veel gevallen komen zowel de kubische als de hexagonale structuur van hetzelfde element voor omdat het verschil in vrije energie tussen de verschillende metastabiele, allotrope kristalstructuren over het algemeen klein is.

Er komen echter ook reeksen voor met langere sequenties, zoals een opeenvolging van de reeks ABAC bij lanthaan, cerium en praseodymium. In kleine kristallen van kobalt worden random stapelingen aangetroffen.[4]

Zie ook[bewerken]

Referentie[bewerken]

  1. Thomas Hales, arXiv,eprint=math/9811071, An overview of the Kepler conjecture, 1998, v2
  2. Mathematics: Does the proof stack up?
  3. Sally Pobojewski, Hales solves oldest problem in discrete geometry
  4. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley & Sons, 1953-1976 ISBN 0-471-49024-5.