Differentieerbaarheid

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search
Een differentieerbare functie

Binnen de tegenwoordige wiskunde is differentieerbaarheid een van de grondbegrippen, met name binnen de analyse. Ruwweg noemt men een functie differentieerbaar als ze een afgeleide heeft. De term afleidbaar is een synoniem. Een van de grondleggers van dit begrip, dat ook veel wordt toegepast in de natuurkunde, is Isaac Newton.

Differentieerbaar in een punt[bewerken]

Een functie met als domein heet differentieerbaar in als geldt dat de volgende limiet bestaat:

Deze limiet wordt de afgeleide waarde van in genoemd.

Meestal zal een deelverzameling van de reële getallen zijn. Het quotiënt en de limiet blijven echter hun betekenis houden in (delen van) de complexe getallen ; in dat geval heet de functie complex differentieerbaar als de limiet bestaat.

Als differentieerbaar is in , is automatisch ook continu in .

Differentieerbare functie[bewerken]

Een functie die differentieerbaar is in elk punt heet een differentieerbare functie.

De functie die in elk punt de afgeleide waarde van als functiewaarde heeft, heet de afgeleide functie van .

Een functie die complex differentieerbaar is in een open verzameling heet ook wel (complex) analytisch of holomorf. Complex differentieerbare functies zijn het centrale studieobject van de complexe analyse, ook wel functietheorie genoemd.

Voorbeelden[bewerken]

De functie met domein is niet (overal) differentieerbaar, want de afgeleide in bestaat niet.

De functie met domein is wel differentieerbaar. De afgeleide functie is

Meer dimensies[bewerken]

Het begrip differentieerbaarheid kan worden gegeneraliseerd tot meerdimensionale functies van meer dan één veranderlijke

Meer dan één veranderlijke[bewerken]

De uitbreiding voor (vectorwaardige functies) is niet zo moeilijk, omdat de limiet uit bovenstaande definitie ook nog gedefinieerd is voor vectoren in . De functie kan geschreven worden in termen van componentfuncties

en is differentieerbaar dan en slechts dan als alle afzonderlijk differentieerbaar zijn.

Meerdimensionale functies[bewerken]

De uitbreiding voor ligt minder voor de hand, omdat het niet duidelijk is wat de limieten betekenen.

Een gedeeltelijke uitbreiding levert het begrip partiële differentieerbaarheid. We zeggen dat de functie van meer veranderlijken in het punt partieel differentieerbaar is naar de -de veranderlijke , als de functie

(gewoon) differentieerbaar is in . Merk op dat elke een functie is van naar . De gewone afgeleide van deze functie van één veranderlijke heet partiële afgeleide van naar de -de veranderlijke, genoteerd als

Het bestaan van partiële afgeleiden in alle veranderlijken tegelijk is een zwakke eigenschap, en is bijvoorbeeld nog niet voldoende om continuïteit te garanderen. Daarom wordt meestal de volgende, engere definitie gehanteerd.

De functie heet totaal differentieerbaar in een punt als er een lineaire afbeelding

,

bestaat met de eigenschap

Daarin stelt de bekende euclidische norm voor. Verder is een vector in , waarvan in de limiet de norm willekeurig klein gemaakt wordt.

De lineaire afbeelding heet de (totale) afgeleide van in de vector . In het geval is de lineaire afbeelding de vermenigvuldiging met het getal .

Als totaal differentieerbaar is in is ze ook continu in én partieel differentieerbaar in elk van de veranderlijken afzonderlijk. De lineaire afbeelding kan worden voorgesteld door een matrix, de jacobi-matrix , met als elementen de verschillende partiële afgeleiden van in

,

Waarin alle elementen in het punt geëvalueerd moeten worden: