Differentieerbaarheid

Differentieerbare functie

Binnen de tegenwoordige wiskunde is differentieerbaarheid een van de grondbegrippen, met name binnen de analyse. Ruwweg noemt men een functie differentieerbaar als ze een afgeleide heeft. Afleidbaar is een synoniem. Een van de grondleggers van dit begrip, dat ook veel wordt toegepast in de natuurkunde, is Isaac Newton.

Differentieerbaar in een punt

Een functie $f$ met als domein $D$ heet differentieerbaar in een punt $x\in D$ als de volgende limiet bestaat:

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Deze limiet wordt de afgeleide waarde van $f$ in $x$ genoemd.

Voor $D$ wordt meestal een deelverzameling van de reële getallen $\mathbb {R}$ genomen, maar wanneer met de complexe getallen $\mathbb {C}$ wordt gerekend blijven het quotiënt en de limiet hun betekenis houden. De functie wordt als de limiet bestaat in dat geval complex differentieerbaar genoemd.

Als $f$ differentieerbaar is in $x$, is $f$ automatisch ook continu in $x$.

Differentieerbare functie

Een functie $f$ die in ieder punt $x\in D$ differentieerbaar is, heet een differentieerbare functie. De functie die in ieder punt $x\in D$ de afgeleide waarde van $x$ als functiewaarde heeft, heet de afgeleide functie $f'$ van $f$. Een functie die complex differentieerbaar is in een open verzameling $D\subset \mathbb {C}$, wordt ook wel complex analytisch of holomorf genoemd. Complex differentieerbare functies zijn het centrale studieobject van de complexe functietheorie.

Voorbeelden

De functie $f\colon x\mapsto |x|$ met domein $\mathbb {R}$ is niet overal differentieerbaar, want de afgeleide in $x=0$ bestaat niet.

De functie $g:x\mapsto x^{2}$ met domein $\mathbb {R}$ is wel differentieerbaar. De afgeleide functie is $g'(x)=2x$.

Meer dimensies

Het begrip differentieerbaarheid kan worden gegeneraliseerd tot meerdimensionale functies van meer dan één variabele

$f:D\subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$

Meerdimensionale functies

De uitbreiding voor $n>1$, waarbij functies als vector worden weergegeven, is niet zo moeilijk, omdat de limiet uit bovenstaande definitie ook nog voor vectoren in $\mathbb {R} ^{n}$ is gedefinieerd. De functie $f$ kan worden geschreven als

$f(x)={\big (}f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x){\big )}$

$f$ is in dit geval differentieerbaar dan en slechts dan als elke $f_{i}$ afzonderlijk differentieerbaar is.

Meer dan één variabele

De uitbreiding voor $m>1$, functies van meer variabelen, ligt minder voor de hand, omdat het niet duidelijk is wat de limieten betekenen. Een gedeeltelijke uitbreiding levert het begrip partiële differentieerbaarheid. De functie van meer variabelen $f(x_{1},\ldots ,x_{m})$ heet in het punt $x_{0}=(x_{01},\ldots ,x_{0m})$ partieel differentieerbaar naar de $i$-de variabele $x_{i}$, als de functie

$g_{i}(t)=f(x_{01},\ldots ,x_{0(i-1)},t,x_{0(i+1)},\ldots ,x_{0m})$

(gewoon) differentieerbaar is in $x_{0i}$. Merk op dat elke $g_{i}$ een functie is van $\mathbb {R}$ naar $\mathbb {R}$. De gewone afgeleide van deze functie van één variabele heet partiële afgeleide van $f$ naar de $i$-de variabele, genoteerd als

${\partial f \over \partial x_{i}}(x_{01},\ldots ,x_{0(i-1)},x_{0i},x_{0(i+1)},\ldots ,x_{0m})=g'_{i}(x_{0i})$

Het bestaan van partiële afgeleiden in alle $m$ variabelen tegelijk is een zwakke eigenschap, en is bijvoorbeeld nog niet voldoende om continuïteit te garanderen. Daarom wordt meestal de volgende, engere definitie gehanteerd.

De functie $f(x_{1},\ldots ,x_{m})$ wordt in een punt $x_{0}\in \mathbb {R} ^{m}$ totaal differentieerbaar genoemd, als er een lineaire afbeelding

$A\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$,

bestaat met de eigenschap:

$\lim _{\|\Delta x\|\to 0}{\frac {\|f(x+\Delta x)-f(x)-A(\Delta x)\|}{\|\Delta x\|}}=0$

Daarin stelt $\|\cdot \|$ de bekende euclidische norm voor. Verder is $\Delta x$ een vector in $\mathbb {R} ^{m}$, waarvan in de limiet de norm willekeurig klein wordt gemaakt. De lineaire afbeelding $A$ heet de (totale) afgeleide van $f$ in de vector $x$. In het geval $m=1$ is de lineaire afbeelding de vermenigvuldiging met het getal $f'(x)$.

Als $f$ totaal differentieerbaar is in $x_{0},$ is ze ook continu in $x_{0}$ én partieel differentieerbaar in elk van de $m$ variabelen afzonderlijk. De lineaire afbeelding $A$ kan worden voorgesteld door een matrix, de jacobi-matrix $J(f)$, met als elementen de verschillende partiële afgeleiden van $f$ in $x_{0}$:

$J(f)={\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{m}}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{m}}}\end{bmatrix}}$,

Waarin alle elementen in het punt $x_{0}$ moeten worden geëvalueerd:

$J(f)_{ij}={\partial f_{i} \over \partial x_{j}}(x_{0})$

Merk op dat voor gewone functies op de reële getallen totaal differentieerbaar hetzelfde is als differentieerbaar.