Differentievergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde, meer in het bijzonder de discrete wiskunde, is een differentievergelijking, ook aangeduid als recurrente betrekking, een relatie, waarmee de elementen van een rij recursief gedefinieerd worden, dat wil zeggen elk element van de rij is een functie van de voorgaande elementen. Als we de rij aangeven met x, wordt het ne element gegeven door:

x_n = f(x_{n-1}, x_{n-2},\ldots, x_1, x_0)\,.

Een differentievergelijking is het discrete analogon van een differentiaalvergelijking: een differentievergelijking legt verbanden tussen de waarden van een functie op discrete (equidistante) tijdstippen.

Lineaire differentievergelijkingen[bewerken]

Een speciaal geval vormen de lineaire differentievergelijkingen, waarin de functie f een lineaire functie is.

Voorbeeld[bewerken]

De rij van Fibonacci wordt gedefinieerd door de differentievergelijking:

u_0=0\,
u_1=1\,
u_n=u_{n-1}+u_{n-2}\, voor n = 2, 3, ...

In dit voorbeeld van een lineaire differentievergelijking hangt de waarde van de volgende term slechts af van de twee voorgaande. We zeggen dat de differentievergelijking van de tweede orde is.

Algemeen[bewerken]

Een lineaire differentievergelijking van de orde k heeft de vorm:

x_n = c_0(n)+c_1(n)x_{n-1}+ c_2(n)x_{n-2}+\ldots+c_k(n)x_{n-k}\,,

waarin de coëfficiënten c nog van n kunnen afhangen. Zijn de coëfficiënten c niet afhankelijk van n, dan spreken we van een lineaire differentievergelijking van de orde k met constante coëfficiënten :

x_n = c_0+c_1 x_{n-1}+ c_2 x_{n-2}+\ldots+c_k x_{n-k}\,.

In het geval c_0=0 spreken we van de homogene vergelijking, waarvan oplossingen gevonden worden door de substitutie:

x_n = \lambda^n\,,

waardoor de vergelijking overgaat in:

\lambda^n = c_1 \lambda^{n-1}+ c_2 \lambda^{n-2}+\ldots+c_k \lambda^{n-k}\,

of

\lambda^k - c_1 \lambda^{k-1}- c_2 \lambda^{k-2}-\ldots-c_{k-1}\lambda-c_k =0\,,

de karakteristieke vergelijking geheten.

Als alle wortels \lambda_1,\ldots, \lambda_k\, verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de homogene differentievergelijking gegeven door:

x_{Hn}=A_1 \lambda_1^n + \ldots + A_k\lambda_k^n\,,

waarin de A's nog vrij te kiezen constanten zijn. Na het vinden van een speciale oplossing x_{Sn}\, van de algemene vergelijking, wordt de algemene oplossing gegeven door:

x_n=x_{Sn}+x_{Hn}\,.

Voorbeeld (vervolg)[bewerken]

De differentievergelijking voor de Fibonacci-getallen is een homogene lineaire differentievergelijking van de orde 2 met constante coëfficiënten. De karakteristieke vergelijking is:

\lambda^2 - \lambda - 1 = 0\,,

met wortels:

\lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2},

De algemene oplossing is dus:

x_{Hn}=A_1 \lambda_1^n + A_2\lambda_2^n.

uit de beginvoorwaarde x_0=0\, volgt dat A_1=-A_2\,, en uit x_1=1\, en het gegeven dat:

\lambda_1-\lambda_2=\sqrt{5}\,

volgt dat

A_1=\frac 1{\sqrt{5}}\,,

zodat de algemene oplossing is:

x_n=\frac{(1 + \sqrt{5})^n - (1 - \sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}} \,.

Zie ook[bewerken]