Dihedrale groep

Deze sneeuwvlok heeft de dihedrale symmetrie van een regelmatig zeshoek.

In de groepentheorie en de meetkunde, deelgebieden van de wiskunde, is een dihedrale groep (ook diëdergroep) de groep van symmetrieën van een (tweedimensionale) regelmatige veelhoek. Ook de bijbehorende abstracte groep wordt zo genoemd. Voor $n\geq 3$ wordt de groep van symmetrieën van de regelmatige $n$ -hoek genoteerd als $\mathrm {D} _{n}$ of $\mathrm {Dih} _{n}$ . De groep heeft $2n$ elementen, namelijk $n$ draaiingen en $n$ spiegelingen.

Anders gezegd vormen de dihedrale groepen de symmetriegroepen van de regelmatige veelhoeken onder draaiing en spiegeling. Dihedrale groepen behoren tot de eenvoudigste voorbeelden van eindige groepen, en spelen een belangrijke rol in de groepentheorie, de meetkunde en de scheikunde.

Onderscheiden moeten worden $\mathrm {D} _{n}$ als isometriegroep in twee dimensies en als isometriegroep in drie dimendies, en de algebraïsche groep $\mathrm {Dih} _{n}$ (de structuur van beide en nog andere isometriegroepen).

Bij gelijkstelling van symmetriegroepen van figuren die uit elkaar ontstaan door een directe isometrie, is er voor een gegeven vlak voor elke waarde van $n$ slechts een zo'n groep $\mathrm {D} _{n}$ . De groep $\mathrm {D} _{1}$ in twee dimensies is spiegeling in een lijn, algebraïsch wel, maar meetkundig niet hetzelfde als $\mathrm {C} _{2}$ (rotatiesymmetrie van orde 2): $\mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Z} _{2}$ .

De dihedrale isometriegroep $\mathrm {D} _{n}$ in drie dimensies is de symmetriegroep die onder meer beschreven kan worden als die van een ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde $n$ . Bij gelijkstelling van symmetriegroepen van objecten die uit elkaar ontstaan door een directe isometrie, is er voor de driedimensionale ruimte weer voor elke waarde van $n$ slechts een zo'n groep, $\mathrm {D} _{1}$ in drie dimensies, die dus beschreven kan worden als de symmetriegroep van een ronde plaat met op beide zijden dezelfde asymmetrische figuur, is meetkundig, anders dan in twee dimensies, wel hetzelfde als $\mathrm {C} _{2}$ in drie dimensies (rotatiesymmetrie van orde 2). Dat laatste is ook een eenvoudiger beschrijving van deze symmetriegroep.

In een context waar duidelijk is of het gaat om twee dimensies of drie dimensies is "symmetrie $\mathrm {D} _{n}$ " dus eenduidig bij gelijkstelling van symmetriegroepen van objecten die uit elkaar ontstaan door een directe isometrie binnen respectievelijk het vlak en de ruimte. Een formulering als "dihedrale symmetrie van orde 6" kan alleen gebruikt worden in een context waar ook duidelijk is of hiermee $\mathrm {D} _{3}$ of $\mathrm {D} _{6}$ bedoeld wordt.

$\mathrm {Dih} _{n}$ is alleen abels (commutatief) voor $n=1$ en $n=2$ . $\mathrm {Dih} _{3}$ is de kleinste van alle niet-abelse groepen.

Eindige achirale symmetriegroepen in het euclidische vlak[bewerken | brontekst bewerken]

De eindige symmetriegroepen in het euclidische vlak met minstens één spiegeling vormen een rij van dihedrale groepen $\mathrm {D} _{n}$ van orde $2n$ ( $n=1,2,3,\ldots$ ). Ze hebben een dekpunt waardoor $n$ spiegellijnen lopen, waarvan twee opeenvolgende een hoek maken van 180°/ $n$ . Daaraan verbonden is rotatiesymmetrie $\mathrm {C} _{n}$ van orde $n$ , die bij draaiing ovver een hoek maken van 360°/ $n$ dezelfde figuur oplevert. Voor $n=1$ is deze triviaal, en is er alleen spiegelsymmetrie. De eenvoudigste figuur met symmetrie $\mathrm {D} _{2}$ is de rechthoek, en met symmetrie $\mathrm {D} _{n}$ vanaf $n=3$ de regelmatige $n$ -hoek.

Het stelsel van spiegellijnen heeft dus zelf rotatiesymmetrie van een tweemaal zo hoge orde als de rotatiesymmetrie die in de dihedrale groep bevat is. Bij een rondgang om het dekpunt ziet de figuur er in de omgeving van een spiegellijn daardoor om en om anders uit: bij een rechthoek is er om en om een lange en korte zijde, en bij een regelmatige veelhoek is er om en om een hoekpunt en een zijde; de spiegellijnen lopen voor even $n$ om en om door twee hoekpunten of twee zijden, en voor oneven $n$ steeds door een hoekpunt en een zijde. Draaiing over een hoek van $180^{\circ }/n$ geeft altijd "een ander figuur" met exact dezelfde symmetrie. Nog een ander voorbeeld is een cirkel met daarlangs $2n$ pijltjes, om en om met de klok mee en tegen de klok in. De spiegellijnen bevinden zich tussen de pijltjes, die om en om van twee kanten naar een spiegellijn wijzen, en beide van de spiegellijn af wijzen.

Bij een losse rechthoekige kleurenplaat (die daarmee qua vorm symmetrie $\mathrm {D} _{2}$ heeft, en die gemakkelijk gedraaid kan worden en dan niet als een andere kleurenplaat wordt beschouwd) die met inkleuring enkelvoudige spiegelsymmetrie heeft, zijn wel te onderscheiden of deze een lange of een korte spiegellijn heeft. De oriëntatie van de spiegellijn wordt dan gerelateerd aan de uitsnijding.

Evenzo zijn bij een losse vierkante kleurenplaat te onderscheiden of deze een spiegellijn evenwijdig aan twee zijden heeft of een diagonale, en of deze twee spiegellijnen evenwijdig aan de zijden heeft, of twee diagonale, zie ook de tekening van de symmetriesoorten van het vierkant (tweede rij).

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Onderstaande figuur illustreert alle zestien elementen van de dihedrale groep $\mathrm {D} _{8}$ ; de bovenste rij toont alle rotaties en de onderste alle spiegelingen:

Chirale symmetriegroepen in de driedimensionale ruimte[bewerken | brontekst bewerken]

Bij

\mathrm {D} _{3}

in drie dimensies, weergegeven op een bol, is het fundamenteel domein, aangegeven in geel, een tweehoek die 1/6 van het boloppervlak omvat. Door de hoekpunten loopt een rotatie-as van orde 3, en door de middens van de zijden lopen rotatie-assen van orde 2.

In drie dimensies is $\mathrm {D} _{n}$ (ook hier van orde $2n$ ) de symmetriegroep van bijvoorbeeld een horizontale ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde $n$ . Er zijn dan één verticale rotatie-as en $n$ horizontale. Er is geen verdere symmetrie, dus het spiegelbeeld is anders, al heeft het wel dezelfde symmetrie.

Oneindige dihedrale groep[bewerken | brontekst bewerken]

Een variant is de oneindige dihedrale groep, de symmetriegroep van $\mathbb {Z}$ , zie ook de symmetriegroepen in één dimensie en twee dimensies, uitgezonderd de tussenvormen.

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]