Dihedrale groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Deze sneeuwvlok heeft de dihedrale symmetrie van een regelmatig zeshoek.

In de groepentheorie in combinatie met de meetkunde, deelgebieden van de wiskunde, is een dihedrale groep (ook diëdergroep) in 2D de groep van symmetrieën van een regelmatige veelhoek. Anders gezegd vormen zij de symmetriegroepen van de regelmatige veelhoeken onder de rotatie en de spiegeling. Dihedrale groepen behoren tot de eenvoudige voorbeelden van de eindige groepen en spelen een belangrijke rol in de groepentheorie, de meetkunde en de scheikunde.

De dihedrale groep Dn heeft 2n elementen. Onderscheiden moeten worden Dn als isometriegroep in 2D, als isometriegroep in 3D, en als algebraïsche groep (hetzelfde voor beide).

De dihedrale isometriegroep Dn in 2D is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Bij gelijkstelling van symmetriegroepen van figuren die uit elkaar ontstaan door een directe isometrie is er voor een gegeven vlak slechts één zo'n groep. D1 in 2D is spiegeling in een lijn, algebraïsch wel, maar meetkundig niet hetzelfde als C2 (rotatiesymmetrie van orde 2).

De dihedrale isometriegroep Dn in 3D is de symmetriegroep die onder meer beschreven kan worden als die van een ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde n. Bij gelijkstelling van symmetriegroepen van objecten die uit elkaar ontstaan door een directe isometrie is er voor de driedimensionale ruimte weer slechts één zo'n groep. D1 in 3D, die dus beschreven kan worden als de symmetriegroep van een ronde plaat met op beide zijden dezelfde asymmetrische figuur, is meetkundig, anders dan in 2D, wel hetzelfde als C2 in 3D (rotatiesymmetrie van orde 2). Dat laatste is ook een eenvoudiger beschrijving van deze symmetriegroep.

Voorbeeld[bewerken]

Onderstaande figuur illustreert alle zestien elementen van de dihedrale groep D8; de bovenste rij toont alle rotaties en de onderste alle spiegelingen:

Dihedral8.png

Oneindige dihedrale groep[bewerken]

Een variant is de oneindige dihedrale groep, de symmetriegroep van Z.