Diofantische meetkunde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is de diofantische meetkunde een benadering van de theorie van de diofantische vergelijkingen. Het formuleert vragen over diofantische vergelijkingen in termen van algebraïsche meetkunde over een grondveld K, dat niet algebraïsch gesloten is, zoals op het gebied van rationale getallen of eindige velden, of meer algemeen commutatieve ringen, zoals de gehele getallen. Een enkele vergelijking definieert een hyperoppervlak. Een stelsel diofantische vergelijkingen geeft aanleiding tot een algemene algebraïsche variëteit V over K. Een typische vraag binnen de de diofantische meetkunde gaat over de aard van de verzameling V(K) van punten op V met coördinaten in K. Door middel van hoogtefuncties kunnen kwantitatieve vragen over de "grootte" van deze oplossingen worden gesteld, evenals de kwalitatieve vraag of er überhaupt een oplossing bestaat en als dat het geval is of er een oneindig aantal oplossingen bestaan.

Gegeven de meetkunde aanpak is de beschouwing van homogene vergelijkingen en homogene coördinaten fundamenteel, om dezelfde redenen dat de projectieve meetkunde de dominante benadering binnen de algebraïsche meetkunde is. Rationaal getal oplossingen zijn daarom de belangrijkste overweging; maar integrale oplossingen (dat wil zeggen roosterpunten) kunnen op dezelfde manier worden behandeld als een affiene variëteit kan worden beschouwd binnenin een projectieve variëteit die extra punten op oneindig heeft.