Dirichlet-energie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is de Dirichlet-energie een maat voor de "variatie" van een functie. Meer abstract is het een kwadratische functionaal op de Sobolev-ruimte H^1. De Dirichlet-energie is nauw verbonden met de Laplace-vergelijking en is genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet.

Definitie[bewerken]

Gegeven een open verzameling \Omega \subset\R^n en een functie u: \Omega \to \R, dan is de Dirichlet-energie van u gedefinieerd door

E[u] = \frac12 \int_{\Omega} | \nabla u (x) |^{2} \, \mathrm{d} V,

Eigenschappen en toepassingen[bewerken]

Aangezien de Dirichlet-energie de integraal is van een niet-negatieve grootheid, is zij zelf ook niet-negatief, d.w.z.

E[u] \ge 0

voor elke functie u.

Het oplossen van de Laplace-vergelijking

\Delta u (x) = 0 \text{ vor alle } x \in \Omega

(met geschikte randvoorwaarden) is equivalent aan het oplossen van het probleem uit de variatierekening van het vinden van een functie u die aan de randvoorwaarden voldoet en minimale Dirichlet-energie heeft. Zo'n oplossing heet een harmonische functie en deze zijn het onderwerp van studie in de potentiaaltheorie.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998 ISBN 978-0821807729.