Discontinuïteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een functie is discontinu in een punt indien de functie daar niet continu is. Intuïtief betekent dit dat de functie daar niet in één vloeiende lijn getekend kan worden: er is bijvoorbeeld een gat of een sprong. Een meer wiskundige beschrijving is te vinden in het artikel over continuïteit.

Classificatie[bewerken]

Naargelang de aard van de discontinuïteit kunnen we deze als volgt classificeren.

Een ophefbare discontinuïteit

Ophefbare discontinuïteit[bewerken]

Bij een ophefbare discontinuïteit is de functie niet gedefinieerd in een punt, maar de linkerlimiet is er gelijk aan de rechterlimiet. De functie kan continu gemaakt worden door de functiewaarde in het betreffende punt gelijk te stellen aan zijn limietwaarde.

Voorbeeld
f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ als } x< 1 \\ 2-x&  \mbox{ als }  x>1\end{matrix}\right.
De discontinuïteit in x = 1 kan opgeheven worden door f(1) = 1 te stellen.
Een sprong-discontinuïteit

Sprong-discontinuïteit[bewerken]

Bij een sprong-discontinuïteit bestaan linker- en rechterlimiet, maar deze zijn verschillend.

Voorbeeld
f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ als } x< 1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ als } x>1\end{matrix}\right.
Nu is er in x = 1 sprake van een sprong-discontinuïteit, deze kan niet opgeheven worden.
Een essentiële discontinuïteit

Essentiële discontinuïteit[bewerken]

Bij een essentiële discontinuïteit bestaan linker- en/of rechterlimiet niet of zijn deze oneindig.

Voorbeeld
f(x)=\left\{\begin{matrix}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ als } x< 1 \\ & \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ als } x>1\end{matrix}\right.
In x = 1 is er nu een essentiële discontinuïteit: de linkerlimiet bestaat niet en de rechterlimiet is oneindig. Merk op dat één van beide volstond om te kunnen spreken van een essentiële discontinuïteit.

Discontinu op een interval[bewerken]

De meeste functies zijn discontinu in bepaalde punten, zoals in de voorbeelden hierboven. Sommige functies zijn echter over een heel interval discontinu.

Een bekend voorbeeld is de Dirichletfunctie. Deze functie is in elk element van zijn domein \mathbb{R} discontinu, omdat er tussen twee rationale getallen steeds een irrationaal getal ligt en omgekeerd:

f(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{ als } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \mbox{ als } x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}

Voorbeelden[bewerken]