Disjuncte verzamelingen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, zegt men van twee verzamelingen dat deze disjunct zijn, als zij geen element met elkaar gemeen hebben, wat dus betekent dat dedoorsnede van twee disjuncte verzamelingen de lege verzameling is. Bij uitbreidingen noemt men een groep van meer dan twee verzamelingen disjunct, als elk tweetal disjunct is.

De verzamelingen {1, 2, 3} en {4, 5, 6} zijn bijvoorbeeld disjuncte verzamelingen.

Definitie[bewerken]

Twee verzamelingen en heten disjunct als hun doorsnede de lege verzameling is, dus

Twee disjuncte verzamelingen hebben geen enkel element gemeenschappelijk.

Paarsgewijs disjunct[bewerken]

Deze definitie is uitbreidbaar naar elke collectie van verzamelingen. Een collectie van verzamelingen is paarsgewijs disjunct of wederzijds disjunct als elk tweetal verzamelingen in de collectie disjunct is.

Formeel betekent dit dat de familie van verzamelingen , met een indexverzameling, paarsgewijs disjunct is, als voor alle met geldt:

De collectie verzamelingen {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, {7, 8}, ...} is bijvoorbeeld paarsgewijs disjunct.

Als een paarsgewijze disjuncte collectie is die ten minste twee verzamelingen bevat, dan is de doorsnede duidelijk leeg:

Het omgekeerde is echter niet waar: de doorsnede van bijvoorbeeld de collectie {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 1}} is leeg, maar de collectie is niet paarsgewijs disjunct. Er geldt bijvoorbeeld dat

Een partitie van een verzameling is een voorbeeld van een paarsgewijs disjuncte collectie deelverzamelingen.

Referenties[bewerken]

Zie ook[bewerken]