Divergentiestelling

In de vectoranalyse is de divergentiestelling, stelling van Gauss of stelling van Ostrogradsky een formule die de divergentie van een vectorveld binnen een gesloten oppervlak relateert aan de flux van het veld naar buiten. De divergentiestelling is een belangrijk resultaat voor de wiskundige achtergrond van de natuurkunde, in het bijzonder in de elektrostatica en vloeistofmechanica.

De stelling is in 1762 het eerst door Joseph-Louis Lagrange ontdekt, later in 1813 onafhankelijk opnieuw door Carl Friedrich Gauss, in 1825 door George Green en in 1831 door Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, die ook het eerste bewijs leverde. Variaties op de divergentiestelling werden dan ook naar hen genoemd.

De stelling van Stokes is een overeenkomstige stelling als de divergentiestelling, maar die is in plaats van de divergentie voor de rotatie van een vectorveld van toepassing.

Intuïtie

De intuïtieve inhoud is eenvoudig: wanneer er water stroomt in een bepaald gebied en je er in geïnteresseerd bent hoeveel water uit een bepaalde regio in dat gebied stroomt, dan moet je alle bronnen binnen die regio optellen en alle afvoeren daarvan aftrekken. De waterstroom wordt voorgesteld door een vectorveld. Het vectorveld geeft bijvoorbeeld in ieder punt van de stroom de snelheid van het water weer. Het vectorveld bestaat dan uit twee componenten, die beide functie zijn van de plaatscoördinaten. De divergentie van het veld op een bepaald punt beschrijft de sterkte van de bron of de afvoer op die plaats. Dus wanneer men de divergentie van het veld integreert over het inwendige van de regio, zou men hetzelfde resultaat moeten krijgen als wanneer men het vectorveld langs de grens van de regio integreert. Dit is wat de divergentiestelling uitdrukt. De divergentiestelling is dus een behoudswet, die stelt dat het totale volume van alle bronnen en afvoeren, dus de volume-integraal van de divergentie, gelijk is aan de netto stroom door het oppervlak van het volume heen.

Volume $V$ begrensd door het oppervlak $S$ met de oppervlaktenormaal $\mathbf {n}$

Theorie

Stel dat $V$ een compacte deelverzameling is van $\mathbb {R} ^{3}$, waarvan het oppervlak $S$ uit een eindig aantal deeloppervlakken bestaat. Als $\mathbf {F}$ een continu differentieerbaar vectorveld is, gedefinieerd over de omgeving van $V$, dan is

$\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ \mathrm {d} S$

Aan de linkerkant van de vergelijking staat de divergentie van het vectorveld $\mathbf {F}$ opgeteld voor alle punten van het volume $V$, aan de rechterkant de flux van het vectorveld $\mathbf {F}$ door het oppervlak $S$ van $V$ georiënteerd door de naar buiten gerichte normaalvector. $\mathbf {n} \ \mathrm {d} S$ is de naar buiten gerichte eenheidsnormaal van $S$.

websites

• MathWorld. Divergence Theorem.

bronvermelding

• Dit artikel was oorspronkelijk gebaseerd op het GFDL artikel divergence op PlanetMath. Het artikel is gearchiveerd.