Driehoek van Pascal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Animatie van de opbouw van een driehoek van Pascal. Elke coëfficiënt in de driehoek van Pascal is de som van de twee bovenliggende coëfficiënten

De driehoek van Pascal [1] is een rangschikking van de binomiaalcoëfficiënten {n \choose k} in rijen voor toenemende n beginnend met n=0 en op elke rij de n+1 binomiaalcoëfficiënten voor de mogelijke waarden van k. In de driehoek komt de eigenschap tot uitdrukking dat elke binomiaalcoëfficiënt de som is van de twee bovenliggende. De driehoek is genoemd naar de Franse wiskundige Blaise Pascal (1623 - 1662), die de eerste was die er mee rekende.

De getallen in de driehoek geven het aantal wegen aan vanaf de top naar de plaats van zo'n getal, waarmee ook de besproken eigenschap verklaard is. Omdat er steeds 2 keuzen zijn om de weg naar onder te vervolgen is de som van de getallen op een rij de overeenkomstige macht van 2.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

De driehoek is combinatorisch van aard en werd door Pascal toegepast in het onderstaande probleem in de kansrekening bij het dobbelen.

Overigens ordende Pascal de getallen van de driehoek in een rechthoekig schema:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 6 10 15 21 28 36 45
1 4 10 20 35 56 84 120
1 5 15 35 70 126 210
1 6 21 56 126 252
1 7 28 84 210
1 8 36 120
1 9 45
1 10
1

en noemde het getal op het kruispunt van rij i en kolom j: c_{ij}, zodat

{n \choose k}=c_{n-k,k}

en de genoemde eigenschap luidt:

c_{ij}=c_{i-1,j}+c_{i,j-1}\!

Pascal ontwikkelde de naar hem genoemde getallendriehoek bij het oplossen van het zgn. problème des partis, het probleem van de afgebroken partij (spel).

Pascal noemde zijn ontdekking de géometrie du hasard (meetkunde van het toeval). De getallendriehoek als figuur was al eeuwen tevoren bekend bij onder meer enkele Chinese wiskundigen, maar de toepassing ervan in de kansrekening was Pascals ontdekking.

Eigenschappen[bewerken]

De driehoek van Pascal heeft vele eigenschappen:

  • De som van rij n is gelijk aan 2^n
  • De getallen op een rij vormen de coëfficiënten van de uitgeschreven uitdrukkingen voor (x+y)^n
  • Als het element k=1 uit een rij een priemgetal is, dan zijn alle nummers uit die rij (behalve de 1 aan het begin en eind) deelbaar door dit getal. Voorbeeld: 1 7 21 35 35 21 7 1
  • Door de oneven getallen weer te geven als een zwarte punt ontstaat er een figuur met een fractale structuur, de zogenaamde Sierpiński-driehoek.
  • Het aantal elementen in de onderstaande driehoeken wordt gegeven door de elementen (n,2) van de driehoek
*
* **
* ** ***
* ** *** ****
* ** *** **** *****
* ** *** **** ***** ******
1 3 6 10 15 21
  • Dit is gelijk aan de waarden voor
N(n) = \sum\limits_{k=1}^n k
  • Optellen van twee opeenvolgende getallen in bovenstaande reeks (1 3 6 10 15 21 ...) geeft het aantal elementen in een vierkant: 1 4 9 16 25 etc.
  • Optellen van de getallen op de 'diagonalen', geeft de getallen uit de rij van Fibonacci.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  1. zie ook: rij A007318 in OEIS