Driehoekskwadraatgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een driehoekskwadraatgetal is een getal dat zowel een driehoeksgetal als een kwadraatgetal is. Er zijn oneindig veel driehoekskwadraatgetallen. De eerste zes zijn 0, 1, 36, 1.225, 41.616 en 1.413.721.[1]

Het k-de driehoekskwadraatgetal nk is te schrijven als

n_k = \frac{t_k(t_k+1)}{2} = s_k^2

met tk de zijde van de driehoek en sk de zijde van het vierkant die bij het k-de driehoekskwadraatgetal horen.

Het rechterdeel van bovenstaande vergelijking is een diofantische vergelijking, omdat tk en sk gehele getallen zijn. Deze vergelijking kan naar een vergelijking van Pell worden omgeschreven .

Leonhard Euler heeft in 1778 de volgende formule afgeleid:[2]

n_k = \left( \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right)^2.

Een gelijkwaardige uitdrukking is

n_k = {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{2k} - ( 1 - \sqrt{2} )^{2k} \right)^2.

Noten[bewerken]

  1. rij A001110 in OEIS
  2. (en) LE Dickson voor de American Mathematical Society. History of the Theory of Numbers, 1999. naar een uitgave uit 1920, ISBN 978-0-8218-1935-7.