Dynkinsysteem

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Dynkinsysteem op een niet-lege verzameling is in de maattheorie een collectie deelverzamelingen vergelijkbaar met een σ-algebra. Dynkinsystemen zijn genoemd naar de Russische wiskundige Eugene Borisovich Dynkin. Ze ontlenen hun belang aan de toepassing, voornamelijk in de (Lebesgue-)integraalrekening en de kansrekening, van de stelling van Dynkin,

Definitie[bewerken]

Een collectie deelverzamelingen van een niet-lege verzameling Ω heet een Dynkinsysteem als de volgende eigenschappen van toepassing zijn op het 'systeem' :

  • de verzameling Ω behoort zelf tot het systeem
.
  • het systeem is gesloten onder relatieve complementvorming
  • het systeem is gesloten onder vereniging van stijgende rijen

Als een willekeurige verzameling van deelverzamelingen van is, dan is de doorsnede van alle Dynkinsystemen die omvatten, zelf ook een Dynkinsysteem. We noemen deze doorsnijding het Dynkinsysteem dat gegenereerd wordt door . Het is tevens het kleinste Dynkinsysteem dat omvat.

De machtsverzameling van Ω is altijd een Dynkinsysteem, dus er is altijd minstens één Dynkinsysteem dat omvat.

Een Dynkinsysteem dat ook een pi-systeem is, is een sigma-algebra.

Stelling van Dynkin[bewerken]

Als een collectie deelverzamelingen is van die gesloten is onder eindige doorsnede, en een Dynkinsysteem dat omvat, dan omvat ook , de sigma-algebra voortgebracht door de elementen van .