Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een eindig lichaam (Nederlandse term) of eindig veld (Belgische term), Galoislichaam, Galoisruimte, of Galoisveld (vernoemd naar Évariste Galois) is een lichaam /veld met een eindig aantal elementen. Eindige lichamen/velden worden gebruikt in de cryptografie, coderingstheorie, Galoistheorie, getaltheorie en algebraïsche meetkunde. Een eindig lichaam/veld wordt vaak genoteerd als \mathbb F_q of \mathrm{GF}(q), waarbij de laatste vorm refereert aan de Engelse term Galois Field.

Galois heeft eindige lichamen in 1830 ingevoerd, maar pas door toedoen van de Amerikaanse wiskundige Eliakim Moore (1862-1932) zijn eindige lichamen geclassificeerd. Eindige lichamen zijn belangrijk geworden met de komst van digitale elektronica en computers en de ontwikkeling van de informatietheorie en discrete wiskunde.

Lichaam[bewerken]

Net als elk lichaam is ook een eindig lichaam een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling (delen door nul is niet gedefinieerd), waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is (dat wil zeggen dat het resultaat van de bewerking een element moet zijn in de eindige verzameling van elementen). Bovendien zijn optelling en vermenigvuldiging beide associatief en commutatief, en is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Als optellen of vermenigvuldigen wordt toegepast op de normale manier, is de verzameling ofwel niet gesloten en dus geen lichaam, of een oneindig groot lichaam, want met 1 zijn ook 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 etc. elementen van het lichaam. Om deze reden worden de normale operaties niet gebruikt, maar worden in eindige lichamen alle operaties modulo een priemgetal p uitgevoerd, dat de karakteristiek van het lichaam heet.

Voorbeeld[bewerken]

Als voorbeeld het priemlichaam \mathbb{F}_3, met de elementen 0, 1 en 2.

1+1\equiv 2 \, \,  (\bmod \, 3)
1+2\equiv 0 \, \,  (\bmod \, 3)
2\times 2\equiv 1 \, \, (\bmod \, 3)

dus ook

2^{-1} \equiv 2 \, \, (\bmod \, 3)

Orde[bewerken]

De orde of kardinaliteit van een eindig lichaam is het aantal elementen van het lichaam. Omdat elk niet-nul element uit een lichaam een invers element voor de vermenigvuldiging moet hebben, bestaat er niet voor elke orde een eindig lichaam. De verzameling van niet-nul-elementen van een lichaam \mathbb F_q wordt genoteerd als \mathbb F_q^* en wordt de multiplicatieve groep van het lichaam genoemd.

Voorbeeld[bewerken]

In \Z_4 (q = 4) zoeken we de inverse van het element 2.

2 \times 0 \equiv 0 \, \, (\bmod \, 4)
2 \times 1 \equiv 2 \, \, (\bmod \, 4)
2 \times 2 \equiv 0 \, \, (\bmod \, 4)
2 \times 3 \equiv 2 \, \, (\bmod \, 4)

We zien dat er in \Z_4 geen element a is waarvoor geldt dat :2 \times a \equiv 1 \, \, (\bmod \, 4); daarom is \Z_4 zelfs geen lichaam. \Z_4 is overigens wel een groep voor de optelling.

Het blijkt dat er alleen eindige lichamen bestaan met een orde die ofwel gelijk is aan een priemgetal, een zogenaamd priemlichaam, ofwel aan een macht van een priemgetal, een zogenaamd uitbreidingslichaam. Het priemgetal p wordt wel de karakteristiek genoemd en de macht m de uitbreidingsgraad van \mathbb F_{p^m}.

Er bestaat dus bijvoorbeeld wel een eindig lichaam met vier elementen; dit is het lichaam \mathbb F_{2^2}. Hierin hebben de drie niet-nul elementen een multiplicatieve inverse.

Priemlichaam[bewerken]

Een priemlichaam[1] is een lichaam dat geen van zichzelf verschillende deellichamen bevat. Af te leiden is dat voor een eindig lichaam dat tevens een priemlichaam is, geldt dat het aantal elementen een priemgetal is. Voor ieder priemgetal p geldt dat \Z_p, de natuurlijke getallen \{0, 1, \dots , p-1\} met optellen en vermenigvuldigen modulo p, een voorbeeld is van een priemlichaam met p elementen.

Uitbreidingslichaam[bewerken]

Een uitbreidingslichaam of extensielichaam is een eindig lichaam \mathbb F_{p^m} waarvoor m ≠ 1. Het voorbeeld hierboven laat zien dat \Z_4 niet een lichaam is, maar \mathbb F_{2^2}. Een lichaam met 4 elementen moet kennelijk op een andere manier worden geconstrueerd als uitbreidingslichaam van \Z_p. Uitbreidingslichamen kunnen gezien worden als een m-dimensionale vectorruimte over het lichaam \mathbb F_p = \Z_p. Een element \beta\in\mathbb F_{p^m} van een uitbreidingslichaam kan uniek worden geschreven als \beta = b_{m-1}\alpha^{m-1} + \ldots + b_1\alpha + b_0. Hierin is \alpha de wortel van een irreducibele m-de graadspolynoom a(x) over het lichaam \mathbb F_q; de coëfficiënten b_i zijn elementen van \mathbb F_q.

Optellen en aftrekken in een uitbreidingslichaam is gewoonweg modulo rekenen in meerdere dimensies, maar vermenigvuldigen en delen is niet op deze manier te definiëren; hiervoor wordt de irreducibele polynoom a(x) gebruikt dat analoog wordt toegepast als de p bij het modulorekenen in het eendimensionale geval: de twee te vermenigvuldigen polynomen (elementen van \mathbb F_q) worden op de normale manier met elkaar vermenigvuldigd maar het resultaat wordt modulo de polynoom a(\alpha) genomen.

In en eindig lichaam kunnen alle multiplicatieve inversen gevonden worden door eenmalig een complete vermenigvuldigingstabel op te stellen en bij een element x het element y te zoeken waarvoor geldt: x\cdot y\equiv 1 \bmod p

De polynoom a(\alpha) heet ook wel de reductiepolynoom.

Primitief element[bewerken]

Elk eindig lichaam heeft ten minste één element α waarvoor geldt \alpha^{q-1} = 1 en \alpha^n\neq 1 voor 1<n<q-1. Zo'n α wordt een primitief element genoemd. Een primitief element is voortbrenger van de multiplicatieve groep van het lichaam, die dus bestaat uit de machten van het prmitieve element.

Voorbeeld[bewerken]

Een voorbeeld van een eindig lichaam is \mathbb F_{16}=\mathbb F_{2^4} dat 16 elementen heeft. Om dit lichaam te construeren moet als eerste worden gezocht naar een irreducibel polynoom p(x) over \mathbb F_2 met graad 4. Een van de wortels van deze polynoom krijgt de naam \alpha. Ieder element van \mathbb F_{16} kan nu worden voorgesteld als een derdegraadspolynoom in \alpha over \mathbb F_2. Het is duidelijk dat er 16 dergelijke polynomen bestaan. De optelling is nu identiek aan de optelling in een 4-dimensionale lineaire vectorruimte over \mathbb F_2. De vermenigvuldiging is gedefinieerd als de vermenigvuldiging voor polynomen.

Voor het vinden van een irreducibel vierdegraadspolynoom over \mathbb F_2 is het handig te weten welke de irreducibele polynomen van lagere graad zijn. De situatie is vergelijkbaar met het zoeken naar priemgetallen. De irreducibele polynomen van lagere graad zijn:

  • graad 1: x en x + 1
  • graad 2: x^2 + x + 1 (de overige tweedegraadspolynomen zijn deelbaar door x, door x + 1, of door beide.
  • graad 3: x^3 + x + 1 en x^3 + x^2 + 1

Nu kan een irreducibel polynoom van de graad 4 worden gezocht. Een polynoom die niet deelbaar is door bovengenoemde polynomen (en dus irreducibel is) is: p(x) = x^4 + x + 1. De vermenigvuldiging van twee elementen uit \mathbb F_{16}, voor te stellen door a_3 \alpha^3 + a_2 \alpha^2 + a_1 \alpha + a_0 en b_3 \alpha^3 + b_2 \alpha^2 + b_1 \alpha + b_0, is dus nu gedefinieerd door deze twee polynomen in \alpha met elkaar te vermenigvuldigen (over \mathbb F_2), en het resultaat te reduceren tot een derdegraadspolynoom (of lageregraads) in \alpha, gebruik makend van de identiteit p(\alpha) = \alpha^4 + \alpha + 1 = 0.

Externe link[bewerken]

Referenties[bewerken]

  1. Primkörper, Duitstalige wikipedia