Elektrisch vermogen

In de elektriciteitsleer kan het elektrische vermogen betrekking hebben op verschillende grootheden, nl.:

• het momentane vermogen $p(t)$
• het werkelijke vermogen, ook werkzame of actieve vermogen $P$
• het schijnbare vermogen $S$
• het blindvermogen, ook reactieve vermogen $Q$
• het complexe vermogen $Sc$

Elektrisch vermogen wordt gewoonlijk opgewekt door elektrische generatoren, van klein, zoals een fietsdynamo, tot groot, zoals de generatoren in een elektriciteitscentrale, maar ook accu's, batterijen, zonnepanelen leveren elektrisch vermogen. Het vermogen wordt toegeleverd aan verbruikers, zoals bedrijven en particulieren, maar ook apparaten die op accu's en batterijen werken zijn verbruikers. Voor het grootschalige transport van elektrisch vermogen is er een uitgebreid netwerk van hoogspanningskabels, zowel onder- als bovengronds, en leidingen voor lagere spanningen.

Momentane vermogen

Als een bron van elektrische energie op het tijdstip $t$ een elektrische stroom $i(t)$ levert bij een elektrische spanning $u(t)$, is het momentane vermogen $p(t)$ dat de bron levert:

$p(t)=u(t)i(t)$.

Werkelijk vermogen

Het werkelijke vermogen, ook werkzame of actieve vermogen, is het vermogen dat gedissipeerd wordt in de ohmse component van de impedantie in het circuit. Het werkelijke vermogen wordt uitgedrukt in de eenheid watt (W).

Gelijkstroom

Is de bron een gelijkstroombron, dan zijn spanning en stroom constant:

$u(t)=U$ en $i(t)=I$

en is het momentane vermogen gelijk aan het werkelijke vermogen $P$

$P=p(t)=U\cdot I$.

Dit vermogen wordt ontwikkeld in de ohmse weerstand $R$ in het circuit. Volgens de wet van Ohm geldt:

$P=U\cdot I={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}R$.

Periodieke wisselstroom

Is de bron een periodieke wisselspanningsbron met spanning

$u(t)=U\cos(\omega t)$,

en is $Z=R+jX$ de totale impedantie in het circuit, dan is de stroomsterkte

$i(t)=I\cos(\omega t-\varphi )$,

waarin $\varphi$ het faseverschil is tussen de spanning en de stroom als gevolg van de niet-ohmse (reactieve) component van de impedantie.

Voor de momentane stroomsterkte geldt:

$i(t)=I\,\cos(\omega t-\varphi )=I\left(\cos(\varphi )\cos(\omega t)+\sin(\varphi )\sin(\omega t)\right)=i_{w}(t)+i_{b}(t)$.

Daarin is

$i_{w}(t)=I\cos(\varphi )\cos(\omega t)$

de actieve stroomsterkte en

$i_{b}(t)=I\sin(\varphi )\sin(\omega t)$

de stroomsterkte van de zogeheten blindstroom. Het is deze blindstroom, die weliswaar in het circuit loopt, maar 90° in fase verschilt met de spanning en dus niet bijdraagt aan het werkelijk ontwikkelde vermogen. De blindstroom wordt a.h.w. niet gezien, vandaar de naam, en een gebruiker neemt dit vermogen ook niet af, omdat het periodiek wordt opgenomen en weer afgestaan. De blindstroom is de stroom ten gevolge van de reactieve componenten in het circuit. De capaciteiten in het circuit worden periodiek geladen en weer ontladen, en de aanwezige zelfinducties bouwen periodiek een magneetveld op en breken het weer af.

Momentane vermogen

Het momentane vermogen kan uitgedrukt worden als:

$p(t)=u(t)i(t)=u(t)(i_{w}(t)+i_{b}(t))=p_{w}(t)+p_{b}(t)$,

opgebouwd uit het momentane werkelijke vermogen

$p_{w}(t)=u(t)i_{w}(t)=U\cdot I\cos(\varphi )\cos ^{2}(\omega t)=U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}\cdot \cos(\varphi )(1+\cos(2\omega t))$,

variërend met de dubbele frequentie tussen de minimale waarde 0 en de maximale waarde

$U\cdot I\cdot \cos(\varphi )=2\,U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}\cdot \cos(\varphi )$,

en het momentane blindvermogen

$p_{b}(t)=u(t)i_{b}(t)=U\cdot I\cos(\omega t)\sin(\varphi )\sin(\omega t)=U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}\cdot \sin(\varphi )\sin(2\omega t)$,

periodiek wisselend met de dubbele frequentie en amplitude

${\tfrac {1}{2}}U\cdot I\cdot \sin(\varphi )=U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}\cdot \sin(\varphi )$.

Werkelijk vermogen

Het werkelijke vermogen $P$ is het gemiddeld gedissipeerde vermogen in de ohmse component $R$ van de impedantie:

$P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}i^{2}(t)R\mathrm {d} t={\frac {I^{2}\cdot R}{T}}\int _{0}^{T}\cos ^{2}(\omega t-\varphi )\mathrm {d} t={\frac {I^{2}\cdot R}{2}}=I_{\rm {eff}}^{2}\cdot R=U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}\cdot \cos(\varphi )$.

Er geldt immers:

$R=\Re (Z)={\frac {U}{I}}\cos(\varphi )={\frac {U_{\text{eff}}}{I_{\text{eff}}}}\cos(\varphi )$.

De grootheden

$U_{\text{eff}}={\frac {U}{\sqrt {2}}}$ en $I_{\text{eff}}={\frac {I}{\sqrt {2}}}$

zijn de effectieve waarden van de spanning en de stroom.

Het werkelijke vermogen $P$ is ook het gemiddelde van het momentane vermogen, of equivalent van het momentane werkelijke vermogen, over een periode $T$:

$P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p_{w}(t)\mathrm {d} t=U_{\text{eff}}\cdot I_{\text{eff}}\cdot \cos(\varphi )\int _{0}^{T}\left(1+\cos(2\omega t)\right)\mathrm {d} t=U_{\text{eff}}\cdot I_{\text{eff}}\cdot \cos(\varphi )$.

Zowel de actieve stroom als de blindstroom dragen bij aan het werkelijke vermogen en wel als de som van hun afzonderlijk ontwikkelde vermogens. Er geldt immers:

$P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}i^{2}(t)R\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(i_{w}(t)+i_{b}(t))^{2}R\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(i_{w}^{2}(t)+i_{b}^{2}(t)+2i_{w}(t)i_{b}(t))R\mathrm {d} t=$

$={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}i_{w}^{2}(t)R\mathrm {d} t+{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}i_{b}^{2}(t)R\mathrm {d} t=P\cos ^{2}(\varphi )+P\sin ^{2}(\varphi )$,

want

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}i_{w}(t)i_{b}(t))\mathrm {d} t=0$.

De energie verbonden met het door de blindstroom gedissipeerde vermogen $P\sin ^{2}(\varphi )$ gaat nutteloos verloren.

Schijnbaar vermogen

De effectieve waarden $U_{\rm {eff}}$ en $I_{\rm {eff}}$ van respectievelijk de spanning en de stroomsterkte suggereren dat in het circuit een vermogen

$S=U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}$

ontwikkeld wordt. Dit is echter maar schijn omdat er tussen de spanning en de stroom (mogelijk) een faseverschil bestaat. De grootheid $S$ heet daarom schijnbaar vermogen. Om duidelijk te maken dat het slechts een schijnbaar vermogen is, wordt het niet uitgedrukt in watt, maar in de eenheid voltampère (VA).

Blindvermogen

De blindstroom $i_{b}(t)=I\sin(\varphi )\sin(\omega t)$ geeft aanleiding tot het momentane blindvermogen

$p_{b}(t)=u(t)i_{b}(t)=U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}\cdot \sin(\varphi )\sin(2\omega t)$,

een vermogen dat gedurende een halve periode door de bron geleverd wordt en gedurende de andere halve periode aan de bron teruggeleverd wordt, met gemiddeld over een periode de waarde 0. De amplitude van dit vermogen

$Q=U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}\cdot \sin(\varphi )$

wordt het blindvermogen of reactieve vermogen genoemd. Het is een maat voor de verliezen die de bron lijdt in de inwendige weerstand, inclusief de toevoerleidingen, en waarvoor de bron in principe geen vergoeding krijgt. Ook het blindvermogen wordt niet uitgedrukt in watt, maar in de speciaal daarvoor bestemde eenheid voltampère reactief (VAr).

Voorbeeld

In ondergrondse kabels is de afstand tussen de aders klein, zodat ze een tamelijk grote capaciteit vertegenwoordigen. Zo heeft de ca. 11,5 km lange 380-kV-Transversale Berlin, een grotendeels ondergrondse kabel in het stadsgebied van Berlijn, een capaciteit van 2,2 μF. Bij 50 Hz loopt daardoor een blindstroom van effectief ca. 263 A in het circuit. Het bijbehorende deel van het blindvermogen is ca. $0{,}380\times 263\approx 100$ MVAr. In de praktijk is daardoor de zinvolle lengte van een ondergrondse kabel tot ongeveer 70 km beperkt.

Arbeidsfactor

Niet al het schijnbaar ontwikkelde vermogen, uitgedrukt door het schijnbare vermogen $S=U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}$, wordt omgezet in arbeid en/of warmte, maar slechts het deel werkelijk vermogen $P=U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}\cdot \cos(\varphi )$. De verhouding tussen werkelijk vermogen en schijnbaar vermogen, $\cos(\varphi )$, wordt de arbeidsfactor genoemd.

Complex vermogen

Het complexe vermogen $Sc$ is de vectorsom van het werkelijke vermogen $P$ en het blind vermogen $Q$. Het schijnbare vermogen is de grootte $S$ van het complexe vermogen. De hoek $\varphi$ is de fasehoek tussen spanning en stroom

De stroom kan opgebouwd gedacht worden uit de werkelijke stroom, die in fase is met de spanning, en de blindstroom, die 90° in fase verschilt met de spanning. Het is daarom gebruikelijk het vermogen voor te stellen als een vector $Sc$ in het complexe vlak met als componenten het werkelijke vermogen $P$ langs de reële as en het blindvermogen $Q$ langs de imaginaire as. Het complexe vermogen is dus gedefinieerd als:

$Sc=P+jQ=U_{\rm {eff}}\cdot I_{\rm {eff}}\cdot \left(\cos(\varphi )+j\sin(\varphi )\right)=S\,e^{j\varphi }$.

Het schijnbare vermogen

$S=|Sc|={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}$

is de absolute waarde van het complexe vermogen.

Externe links

• AC Circuit Analysis
• Arnold F. McKinley: "The Mathematical Theory Behind Dynamic Power Factor Management"
• Paul V. Holmes: "Elektrische Netwerken"