Elliptische integraal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een elliptische integraal is een integraal van de vorm

 \int R \left(x,\sqrt{P(x)} \right) \mathrm dx

waarbij R een rationale functie met twee variabelen is en P(x) een derde- of vierdegraads polynoom is zonder meervoudige nulpunten. Dit type integraal ontstaat onder andere bij het berekenen van de omtrek van een ellips, wat ook de naam verklaart.

Elliptische integralen kunnen niet in elementaire functies worden uitgedrukt maar zijn wel te herleiden tot een combinatie van elementaire functies en de hierna genoemde integralen. Dat zijn elliptische integralen van de eerste, tweede en derde soort.

1e soort: \int \frac {\mathrm dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}
2e soort: \int \sqrt {\frac {1 - k^2x^2}{1 - x^2}}\, \mathrm dx
3e soort: \int \frac {\mathrm dx}{(1 + hx^2) \sqrt {(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}

Daarbij is  0 < k < 1 . Door substitutie zijn deze integralen te herleiden tot de Legendrevorm.

1e soort: \int \frac {\mathrm d\varphi}{\sqrt{1 - k^2(\sin\varphi)^2}}
2e soort: \int \sqrt {1 - k^2(\sin\varphi)^2}\, \mathrm d\varphi
3e soort: \int \frac {\mathrm d\varphi}{(1 + h(\sin\varphi)^2) \sqrt {1 - k^2(\sin\varphi)^2}}

Van deze integralen zijn tabellen opgesteld.

Externe links[bewerken]