Engel-expansie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De Engel-expansie of Engel-ontwikkeling van een positief reëel getal is de niet-dalende rij positieve gehele getallen waarvoor

De Engel-ontwikkeling is genoemd naar de wiskundige Friedrich Engel, die ze in 1913 bestudeerde.[1]

Elk positief reëel getal heeft een unieke Engel-ontwikkeling. Voor rationale getallen is die ontwikkeling eindig; voor irrationale getallen is ze oneindig. De Engel-ontwikkeling van een rationaal getal stelt dat getal voor als een Egyptische breuk.

Berekening[bewerken]

De Engel-expansie van een gegeven getal x kan men berekenen met het volgende algoritme:

  • Zet
  • bereken voor k = 1, 2, 3, ...:
    • en

Hierin is de ceiling van .

Het algoritme stopt als een van de gelijk is aan 0.

Berekeningsvoorbeeld[bewerken]

De Engel-expansie van 1,3 geeft achtereenvolgens:

Hier stopt het algoritme en de Engel-expansie van 1,3 is {1, 4, 5}:

Voorbeelden[bewerken]

De Engel-expansies van enkele bekende constanten zijn:

- rij A006784 in OEIS
- rij A028254 in OEIS
- rij A000027 in OEIS

De Engel-expansie van e is dus 1 gevolgd door de rij van alle natuurlijke getallen. In het algemeen geldt:

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]