Equivalente matrices

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Binnen de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, heten de -matrices en equivalent als er een inverteerbare -matrix en een inverteerbare -matrix bestaan, zodanig dat

Equivalente marices kunnen gezien worden als matrices van dezelfde lineaire afbeelding, maar ten opzichte van verschillende bases. Dat kan ingezien worden door de keuze van bases en van vectoren in en en van vectoren in zodanig dat de matrices en basistransformaties zijn,

van de overgang van op

en

van de overgang van op

Daarin zijn

de betrokken coördinatiseringen. Dan is

dus

een lineaire afbeelding die met betrekking tot de verschillende bases wordt voorgesteld door zowel als door

Equivalentierelatie[bewerken]

De relatie van equivalentie tussen matrices is inderdaad een equivalentierelatie, want:

  • (Reflexiviteit) Elke matrix is equivalent met zichzelf; kies voor en de geschikte eenheidsmatrices.
  • (Symmetrie) Als equivalent met is ook equivalent met want en zijn beide inverteerbaar, dus
  • (Transiviteit) Als equivalent is met en equivalent met geldt:
en
,
zodat
en dus is ook equivalent met

Eigenschap[bewerken]

Equivalente matrices hebben dezelfde rang.

Zie ook[bewerken]