Euclidisch domein

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra en de ringtheorie, deelgebieden van de wiskunde, is een Euclidisch domein een ring die aan bepaalde voorwaarden voldoet, die overeenkomen met de hoofdstelling van de rekenkunde. Dit is een algemene vorm van het algoritme van Euclides. In het bijzonder, de grootste gemene deler van elk tweetal elementen bestaat en kan worden geschreven als een lineaire combinatie van hen, volgens de stelling van Bachet-Bézout. Ieder ideaal in een Euclidisch domein is dus een hoofdideaal.

Merk op dat een Euclidisch domein voorkomt in de onderstaande keten van deelverzamelingen:
lichamen (Nederlands) of velden (Belgisch)Euclidische domeinenhoofdideaaldomeinenunieke factorisatiedomeinenintegriteitsdomeinencommutatieve ringenringen

Definitie Euclidische functie[bewerken]

Beschouw een integriteitsdomein R. Een Euclidische functie op R is een functie van naar de niet-negatieve gehele getallen die voldoet aan de volgende deling-met-rest eigenschap:

  • (EF1) Als a en b elementen zijn van R en b is niet 0, dan bestaan er elementen q en r in R zodanig dat a = bq + r waarbij ofwel r = 0 ofwel f(r) < f(b).

Definitie Euclidisch domein[bewerken]

Een Euclidisch domein is een een integriteitsdomein waaraan minstens 1 Euclidische functie kan worden toegevoegd.

Let wel: een specifieke Euclidische functie f is zelf niet onderdeel van de structuur van een Euclidisch domein; in het algemeen zal een Euclidisch domein veel verschillende Euclidische functies kennen.

Opmerking[bewerken]

Veel auteurs stellen dat een Euclidische functie moet voldoen aan de volgende additionele eis:

  • (EF2) Voor alle elementen a ongelijk aan 0 en alle elementen b in R geldt f(a) ≤ f(ab).