Euler-lagrange-vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de variatierekening is de euler-lagrange-vergelijking (of lagrange-vergelijking) een differentiaalvergelijking, waarvan de oplossingen functies zijn, waarvoor een gegeven functionaal stationair is. De vergelijking werd in de jaren 1750 opgesteld door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler en de Italiaans-Franse wiskundige Joseph Louis Lagrange.

Omdat een differentieerbare functionaal stationair is op haar lokale maxima en minima, is de euler-lagrange-vergelijking bruikbaar bij het oplossen van optimaliseringsproblemen, waarin men, gegeven een bepaalde functionaal, de minimaliserende (of maximaliserende) functie zoekt. Dit is analoog aan Fermats stationaire punten stelling in de analyse, die stelt dat wanneer een differentieerbare functie zijn lokale extremen bereikt, haar afgeleide gelijk is aan nul.

In de lagrangiaanse mechanica wordt de evolutie van een natuurkundig systeem, vanwege het principe van Hamilton van stationaire actie, voor de actie van dit systeem beschreven door de oplossingen van de euler-lagrange-vergelijking. In de klassieke mechanica is de euler-lagrangevergelijking gelijk aan de bewegingswetten van Newton, maar heeft de vergelijking het voordeel dat zij in elk systeem van gegeneraliseerde coördinaten dezelfde vorm aanneemt.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

De euler–lagrange-vergelijking is een vergelijking, waaraan wordt voldaan door een functie van een reëel argument die een stationair punt i van de functionaal

,

waarbij de differentieerbare functie is die moet worden gevonden, waarvoor en .

is de afgeleide van :

en waarbij de raakbundel van is (de ruimte van mogelijke waarden van afgeleiden van functies met waarden in ).

is een reëelwaardige functie met een continue eerste partiële afgeleide:

De euler–lagrange-vergelijking is de gewone differentiaalvergelijking

Daarin zijn en de partiële afgeleiden van met betrekking tot het tweede en derde argument.

Als de dimensie van de ruimte groter is dan 1, is dit een systeem van differentiaalvergelijkingen, een voor elke component:

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Zoek de reëelwaardige functie op het interval , met en waarvoor de lengte van de grafiek van zo klein mogelijk is. Die lengte is

De integrand is:

De partiële afgeleiden zijn:

en

Dat geeft voor de euler–lagrange-vergelijking:

waaruit volgt

Dus de grafiek is een rechte lijn.