Extreme waarde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Extreme waarden)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Zie artikel Voor het gelijknamige begrip uit de kansrekening, zie Extreme waarde (kansrekening)

In de analyse zijn extreme waarden van een functie de maxima en minima van die functie, dus functiewaarden waar, althans plaatselijk, geen andere functiewaarde boven- dan wel onderuitkomt. We onderscheiden hierin lokale (of relatieve) extrema en globale (of absolute) extrema.

De extremumstelling stelt dat een continue functie op een gesloten interval altijd een minimum en een maximum bereikt.

Formele beschrijving[bewerken]

De functie bereikt in het punt een

  • (lokaal) maximum indien voor alle in een omgeving van .
  • (lokaal) minimum indien voor alle in een omgeving van .

Daarin is een omgeving van een verzameling van de vorm:

,

voor enige .

We spreken respectievelijk over een globaal maximum of minimum indien het gestelde geldt voor alle uit het domein van . Als bovenstaande ongelijkheden strikt zijn voor alle ongelijk aan , spreekt men over een uniek maximum cq. minimum.

Voorwaarden en eigenschappen[bewerken]

Differentieerbare functies in één veranderlijke[bewerken]

Merk op dat dit geen voldoende voorwaarde is, maar wel een nodige. Opdat een extremum bereikt in moet de eerste afgeleide er 0 zijn. Omgekeerd is er echter niet noodzakelijk een extremum waar de afgeleide 0 wordt (zie voorbeeld 2 voor een tegenvoorbeeld). Punten waarin de afgeleide 0 is heten stationaire punten.
  • Om tot een voldoende voorwaarde te komen, kan men kijken naar het teken van de afgeleide. Als de afgeleide in van teken wisselt is de functie in extreem. Of de afgeleide van teken wisselt kan eventueel afgelezen worden aan de tweede afgeleide als deze bestaat.
Veronderstel dat twee keer differentieerbaar is en dat We bekijken het teken van de tweede afgeleide
, dan bereikt een maximum in .
, dan bereikt een minimum in .
, dan kan er geen conclusie getrokken worde.
  • We kunnen eveneens de aard van waarvoor bepalen met behulp van een tekenoverzicht van
Onderstel dat differentieerbaar is op een omgeving van en dat aan beide kanten van een vast teken bezit.
Indien de tekens verschillend zijn bereikt een extremum in
is een minimum indien het teken van links van negatief is en rechts van positief.
is een maximum indien het teken van links van positief is en rechts van negatief.
Indien de tekens aan beide kanten van gelijk zijn bereikt geen extremum, we spreken dan van een buigpunt.
  • In een extremum van een functie is de raaklijn aan de grafiek steeds horizontaal, dus evenwijdig met de -as. Dit volgt rechtstreeks uit het feit dat de afgeleide er 0 moet zijn.

Functies van meerdere variabelen[bewerken]

We kunnen bovenstaande redenering uitbreiden naar functies van meerdere variabelen.
Hiervoor maken we gebruik van begrippen als partiële afgeleide en gradiënt.

  • Indien differentieerbaar is in en er een extremum bereikt, dan moet de gradiënt van in gelijk zijn aan 0. Dit is equivalent met het feit dat alle partiële afgeleiden van in ook 0 moeten zijn, dus als voor alle
Kort:
Ook hier levert dit geen voldoende maar wel een nodige voorwaarde voor extrema. Indien er een extremum bereikt wordt is de gradiënt dus altijd 0, maar het omgekeerde geldt niet. Punten waarin de gradiënt 0 is zijn eveneens stationaire punten.
Opmerking

Voor de eenvoud beperken we ons in de volgende punten tot functies van twee variabelen.

  • Om tot een voldoende voorwaarde te komen bekijken we ook hier afgeleiden van de tweede orde. We voeren de volgende notaties in
, , ,
, dan bereikt een zadelpunt (geen extremum) in
en (of ), dan bereikt een minimum in
en (of ), dan bereikt een maximum in
: we kunnen niets besluiten.
  • In een extremum van een functie is het raakvlak aan de grafiek steeds horizontaal, dus evenwijdig met het -vlak. Dit volgt rechtstreeks uit het feit dat de gradiënt er 0 moet zijn.

Voorbeelden[bewerken]

Voorbeeld 1
Grafiek van de functie

We beschouwen de functie (zie figuur rechts)

We berekenen de eerste afgeleide, stellen deze gelijk aan 0 en lossen op naar x om mogelijke extrema te zoeken

Om na te gaan of er in deze punten extrema bereikt worden bepalen we het teken van de tweede afgeleide voor beide punten

maximum (blauw)
minimum (rood)
Voorbeeld 2
Grafiek van de functie

We beschouwen de functie (zie figuur rechts)

We berekenen de eerste afgeleide, stellen deze gelijk aan 0 en lossen op naar om mogelijke extrema te zoeken

Om na te gaan of er in dit punt een extremum bereikt wordt bepalen we het teken van de tweede afgeleide in dit punt.

geen extremum (maar een buigpunt) (groen)

Vermits voor elk extremum moet gelden dat de afgeleide 0 is kunnen we besluiten dat deze functie geen extrema heeft.

Voorbeeld 3
Grafiek van de functie

We beschouwen de functie (zie figuur rechts)

We berekenen de stationaire punten, dit zijn de punten waarvoor de gradiënt 0 is:

Oplossingen van dit stelsel zijn de punten .

We berekenen δ met voorgenoemde formule voor elk van deze vier punten en vinden

In en in is , dus geen extremum (oranje in de figuur)
In is en , dus een minimum (rood in de figuur)
In is en , dus een maximum (groen in de figuur)