Formele grammatica

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de informatica en theoretische taalkunde is een formele grammatica een beschrijving van een formele taal, een verzameling strings (in deze context ook zinnen genoemd) in een bepaald alfabet. Er zijn twee categorieën te onderscheiden: de generatieve grammatica's die beschrijven hoe een string uit de taal gegenereerd kan worden, en de analytische grammatica's die beschrijven hoe men een string uit een taal kan herkennen (analyseren).

Een generatieve grammatica bestaat uit een verzameling van regels om strings te transformeren. Om een zin uit de taal te genereren begint men een zin die alleen bestaat uit een startsymbool en men past vervolgens regels toe (een willekeurig aantal keer, in elke mogelijke volgorde) om de zin te herschrijven. De formele taal bestaat uit alle zinnen die op deze manier gegenereerd kunnen worden. Elke mogelijke manier om regels toe te passen op de zin resulteert in een zin die behoort tot de taal. Als men een zin op meerdere manier kan genereren dan spreekt men van een ambigue grammatica.

Stel we hebben een alfabet met de letters a en b, het startsymbool S en de volgende regels:

1. S \rightarrow aSb
2. S \rightarrow ba

dan kunnen we met S beginnen en een regel kiezen om toe te passen. Als we regel 1 kiezen dan verkrijgen we de zin aSb. Als we regel 1 opnieuw kiezen dan vervangen we S door aSb en we verkrijgen de zin aaSbb. Dit proces wordt herhaald totdat we alleen symbolen overhouden uit het alfabet (dus: a en b). Als we nu regel 2 gebruiken dan vervangen we S door ba en we eindigen met de string aababb. We kunnen deze handelingen korter noteren met de volgende notatie: S \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aababb. De taal van de grammatica is de verzameling van alle zinnen (strings) die gegenereerd kunnen worden met dit proces: \left \{ba, abab, aababb, aaababbb, ...\right \}.

Formele definitie[bewerken]

In de definitie van generatieve grammatica's zoals gegeven door Noam Chomsky in de jaren '50 bestaat een grammatica G uit de volgende componenten:

(\Sigma \cup N)^{*} N (\Sigma \cup N)^{*} \rightarrow (\Sigma \cup N)^{*}
waarbij {}^{*} de Kleene-ster operator is en \cup de vereniging van verzamelingen. Elke productieregel beeldt een string symbolen af op een andere string symbolen waarbij de eerste string ten minste 1 niet-terminaal symbool bevat. In het geval dat de tweede string de lege string is, noteert men vaak een epsilon (\epsilon) om ambiguïteit te vermijden.
  • een apart symbool S \in N, het startsymbool

Vaak wordt een grammatica G genoteerd als een viertupel (N, \Sigma, P, S).

De taal van de formele grammatica G = (N, \Sigma, P, S), genoteerd als \boldsymbol{L}(G), wordt gedefinieerd als alle strings met symbolen uit \Sigma die gegenereerd kunnen worden vanuit het startsymbool S door productieregels toe te passen uit P tot er geen niet-terminale symbolen meer in de string aanwezig zijn.

Voorbeeld[bewerken]

We beschouwen de grammatica G = (N, \Sigma, P, S) met N = \left \{ S, B \right \}, \Sigma = \left \{ a, b, c \right \}, S is het startsymbool en P bevat de volgende productieregels:

1. S \rightarrow aBSc
2. S \rightarrow abc
3. Ba \rightarrow aB
4. Bb \rightarrow bb

Enkele voorbeelden van zinnen in \boldsymbol{L}(G):

  • \boldsymbol{S} \Rightarrow_2 \boldsymbol{abc}
  • \boldsymbol{S} \Rightarrow_1 \boldsymbol{aBSc} \Rightarrow_2 aB\boldsymbol{abc}c \Rightarrow_3 a\boldsymbol{aB}bcc \Rightarrow_4 aa\boldsymbol{bb}cc
  • \boldsymbol{S} \Rightarrow_1 \boldsymbol{aBSc} \Rightarrow_1 aB\boldsymbol{aBSc}c \Rightarrow_2 aBaB\boldsymbol{abc}cc \Rightarrow_3 a\boldsymbol{aB}Babccc \Rightarrow_3 aaB\boldsymbol{aB}bccc  \Rightarrow_3 aa\boldsymbol{aB}Bbccc \Rightarrow_4 aaaB\boldsymbol{bb}ccc \Rightarrow_4 aaa\boldsymbol{bb}bccc

Notatie: L \Rightarrow_i R is te lezen als "L genereert R" door het toepassing van productieregel i en het gegenereerde stuk wordt vet aangeduid.

Zie ook[bewerken]