Formule van Euler voor veelvlakken

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De formule van Euler voor veelvlakken legt een verband tussen het aantal hoekpunten h, het aantal ribben r en het aantal zijvlakken z van een ruimtelijke figuur, waarvan de vlakken veelhoeken zijn. Er geldt:

.

Met andere woorden: de euler-karakteristiek van het oppervlak van een niet-zelfdoorsnijdend niet-samengesteld veelvlak is 2. Voorwaarde is dat dit oppervlak topologisch gelijkwaardig is met dat van een bol (als het veelvlak hol is moet het binnenoppervlak buiten beschouwing worden gelaten, en het veelvlak mag bijvoorbeeld niet topologisch ringvormig zijn, en niet bestaan uit twee veelvlakken die slechts met één gemeenschappelijk hoekpunt of met één gemeenschappelijke ribbe verbonden zijn) en dat elk zijvlak topologisch gelijkwaardig is met een cirkelschijf (dus bij bijvoorbeeld een kleine kubus midden op een zijvlak van een grote kubus moet het topologisch ringvormige zijvlak dat zo ontstaat aangepast worden. Dit kan al met één extra ribbe (dat er bij de ribbe geen knik zit in het oppervlak is geen bezwaar).

Deze gelijkheid werd in de 18e eeuw ontdekt door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler.

De gelijkheid geldt bijvoorbeeld voor de regelmatige veelvlakken:

Naam Afbeelding Hoekpunten
H
Ribben
R
Zijvlakken
Z
Euler-karakteristiek:
HR + Z
Viervlak Tetrahedron.png 4 6 4 2
Kubus Hexahedron.png 8 12 6 2
Octaëder Octahedron.png 6 12 8 2
Dodecaëder Dodecahedron.png 20 30 12 2
Icosaëder Icosahedron.png 12 30 20 2

Externe links[bewerken]