Suazo debuteerde op 19 juli 2015 in het betaald voetbal in het shirt van Colo-Colo. Hij verving toen in de 88e minuut Jaime Valdés tijdens een met 1–3 gewonnen wedstrijd in het toernooi om de Copa Chile, uit tegen Concepción. Zijn debuut in de Primera División volgde op 18 oktober 2015, thuis tegen San Marcos. Suazo kwam die wedstrijd in de 76e minuut in het veld voor Bryan Carvallo. Het was en bleef toen 0–1 voor de bezoekers. Suazo groeide in 2016/17 uit tot een vaste waarde in het team van Colo-Colo, waarvoor hij acht seizoenen bleef spelen. Hij won in die tijd drie keer het landskampioenschap, drie keer de beker en drie keer de supercup met zijn ploeggenoten.
Suazo verruilde Colo-Colo in januari 2023 voor Toulouse en werd ook hier basisspeler. Dat was hij ook in de resterende vier speelronden van de Coupe de France, die Toulouse dat jaar voor het eerst won.
Chili
Toulouse
· 
· 
·
9 Dallinga ·
10 Cissoko ·
11 Gelabert ·
12 Kamanzi ·
13 Mawissa ·
14 Begraoui ·
15 Dønnum ·
17 Suazo ·
18 Zánden ·
19 Magri ·
20 Schmidt ·
21 Bangré ·
22 Skyttä ·
23 Diarra ·
24 Cásseres ·
30 Domínguez ·
31 Keben ·
50 Restes ·
Coach: Martínez