Gebruiker:Hesselp/Kladblok Betekenis(sen) 'reeks'

Reeks (wiskunde) - bronnen bij de betekenisontwikkeling van 'reeks', 'rij' en 'convergent'[bewerken | brontekst bewerken]

onder constructie

Oneindige reeks of kortweg reeks is in de wiskunde een oude, inmiddels grotendeels door 'rij' vervangen, naam voor: een oneindige rij met getallen^[1] als termen. ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] ^[6] ^[7] Reeks heeft de voorkeur behouden in onder meer: 'reeksvoorstelling van een getal' ^[8], 'reeksontwikkeling van een functie', 'taylorreeks', 'fourierreeks', 'machtreeks' en 'binomiaalreeks'.

De studie van reeksen/rijen had aanvankelijk (18e eeuw) als hoofddoel het vinden van willekeurig scherpe rationale benaderingen voor de waarde van niet-rationale grootheden, en wel door opsplitsing in oneindig veel (snel genoeg klein wordende) rationale termen.^{[Bronnen: onder meer 1851 Schultz von Strasznitzki]} De variërende betekenis van de woorden 'convergent' en 'convergeren' ^[9] leidt tot onregelmatige nomenclatuur en meerduidige notaties.

Onregelmatig woordgebruik^[10]
'Convergente (termconvergente) rij' naast 'convergente (somconvergente) reeks'
Het gangbare taalgebruik, ook buiten het Nederlands^[11], maakt betekenisverschil tussen 'convergente rij' ^[12] (soms: 'convergerende rij' ^[13]) en 'convergente reeks' ^[14] (soms: 'convergerende reeks' ^[15]) .
In deze combinaties gaat het bij het woord 'rij' om het convergeren van de aparte termen ( ${\textstyle \,t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\cdots \,}$ ), en bij het woord 'reeks' om het convergeren van de samengenomen termen (de partiële sommen ${\textstyle \,t_{1},\ t_{1}{+}t_{2},\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3},\,\cdots \,}$ ).
Ofwel: 'rij' + 'convergent' duidt op een termlimiet, en 'reeks' + 'convergent' op een somlimiet.

'Sommeerbare rij' naast 'sommeerbare reeks'
Ter vermijding van verwarring door de dubbele betekenis van 'convergent' is vanaf midden 20e eeuw 'sommeerbare rij' ^[16] ^[17] een alternatief voor 'convergente reeks' .

'Sommeerbare reeks' komt al eerder voor, als benaming voor een getallenrij waarvan de partieelsommen geen limiet hebben maar waar de een of andere alternatieve 'sommatiemethode' wel tot een limiet leidt^[18]: Cesàro-sommeerbaar, Abel-sommeerbaar, Borel-sommeerbaar en andere.^[19]

'Komma-notatie' naast 'plusteken-notatie'^[20]
Voor schriftelijke notaties geldt het volgende:
Als een oneindige getallenrij 'rij' genoemd wordt, is gebruikelijk^[21]:
$\quad t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\cdots \quad \ \$ of $\quad t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\cdots ,\,t_{n},\,\cdots \quad \quad$ of $\quad (t_{n})_{n=1,2,\cdots }$
en als een oneindige getallenrij 'reeks' genoemd wordt:
$\quad t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots \quad$ of $\quad t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots {+}t_{n}{+}\cdots \quad$ of $\quad \Sigma \,t_{n}\,$ ^[22] .

Meerduidige notatie
De formulevorm ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}$ kan, net als de vormen $\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots \$ en $\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots {+}t_{n}{+}\cdots \,$ , drie dingen betekenen:
(1) de rij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ , (2) de somrij (rij van partiële sommen) van de rij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ , (3) de limiet van de somrij van de rij ${\textstyle \,(t_{n})\ }$ .
Voorbeeld:

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

is de som van

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

indien

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

convergeert

staat voor

het getal

{\textstyle \,\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}t_{n}\,}

is de som van de rij

{\textstyle \,t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\cdots \,}

indien de rij

{\textstyle \,t_{1},\ t_{1}{+}t_{2},\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3},\,\cdots \,}

convergeert

en met de haakjes-notatie voor rijen

het getal

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

is de som van de rij

{\textstyle \,(t_{n})_{n}\,}

indien de rij

{\textstyle \,(\sum _{n=1}^{k}t_{n})_{k}\,}

convergeert.

Absolute sommeerbaarheid van een rij, absolute convergentie van een reeks
Een getallenrij/reeks (algemene term ${\textstyle t_{n}}$ ) waarvoor geldt dat de rij ${\textstyle \,|t_{1}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|{+}|t_{3}|,\,\cdots \,}$ een limiet heeft, wordt traditioneel een absoluut convergente reeks genoemd; meer recent ook wel een absoluut sommeerbare rij ^[23]. Een dergelijke rij is zelf eveneens sommeerbaar en de som blijft onveranderd onder welke permutatie van de termen dan ook.

Termen van een rij/reeks, som van een rij/reeks, limiet van een rij
In combinatie met "de termen van de . . ." of met "de som van de . . ." maakt "rij" dan wel "reeks" geen verschil in betekenis:
- de 7e term van de omgekeerde-kwadratenrij = de 7e term van de omgekeerde-kwadratenreeks,
- de som van de omgekeerde-kwadratenrij = de som van de omgekeerde-kwadratenreeks.
In combinatie met "de limiet van de . . ." wordt voornamelijk "rij" gebruikt. Want bij "reeks" kan er twijfel zijn of het om de limiet van de termen of om de limiet van de partieelsommen gaat, een duidelijke conventie op dit punt ontbreekt.^[24]

Cauchyproduct van twee rijen/reeksen. Stelling van Mertens
Onder het cauchyproduct van een rij/reeks met algemene term ${\textstyle a_{n}}$ en een rij/reeks met algemene term ${\textstyle b_{n}}$ , verstaat men de rij/reeks met algemene term ${\textstyle \,a_{1}b_{n}{+}a_{2}b_{n-1}{+}\cdots {+}a_{n}b_{1}\,}$ .
Stelling van Mertens: Als van twee rijen/reeksen de ene het getal A als som heeft en de andere het getal B, en (minstens) een van beide is absoluut sommeerbaar / absoluut convergent, dan heeft het cauchyproduct van die rijen het getal A×B als som.

Vroeger anders
Tot ruwweg het eind van de 19e eeuw werd een rij met een termlimiet nooit aangeduid met 'convergente rij', 'convergerende rij', 'convergente reeks' of 'convergerende reeks' .^[25] Men wilde irrationale grootheden willekeurig dicht benaderen met oneindig doorlopende breukenrijen^[26], waarbij bleek dat het eenvoudiger is om de bedoelde grootheid te beschrijven als limiet van partieelsommen (soms partieelproducten) van een rij, dan als limiet van de termen van een rij. Met 'convergentie' werd de belangrijkste eigenschap van de rij bedoeld: het sommeerbaar zijn (het hebben van een somlimiet).
De gangbare notatie met plustekens (soms komma's^[27] of alleen spaties^[28]) tussen de begintermen past bij dit hoofdgebruik van getallenrijen.

Tot in het begin van de 19e eeuw komt 'convergente (convergerende) reeks' voor als aanduiding voor een rij getallen met 0 als limiet, een nulrij.^[29] Gauss heeft expliciet gewezen op het meerduidige gebruik van 'convergente reeks'.^[30]

In het verleden werd met 'sommeerbare reeks' en 'niet-sommeerbare reeks' het al dan niet bestaan van een 'gesloten vorm' voor de partieelsommen-limiet aangeduid. Waarbij het gesloten vorm geleidelijk aan een ruimere interpretatie kreeg.^[31]

Grote variatie in beschrijvingen van wat met "oneindige reeks" bedoeld kan zijn
De geleidelijke, eind 19e eeuw begonnen, betekenisverschuiving van de woorden "convergent" en "convergeren" - van somlimiet-hebbend naar termlimiet-hebbend – heeft geleid tot een enorme verscheidenheid aan pogingen om 'de' betekenis van de aanduiding "oneindige reeks" vast te leggen. De volgende varianten zijn in de (leerboeken-)literatuur te vinden, op volgorde van gevonden oudste vermelding:

- een combinatie van wiskunde-symbolen (expressie) van de vorm
${\textstyle \quad \sum _{n=1}^{\infty }}$ $a_{n}\$ , ${\textstyle \,\sum (a_{n})_{n\geq 1}\,}$ , $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,$ of $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \$
met een context-afhankelijk betekenis^[32]
- het resultaat van het onbegrensd laten groeien van de term-index^[33]
- een veelterm met een oneindig aantal termen^[34]
- een oneindige rij, gegeven door z'n verschilrij^[35]
- de som van een oneindig aantal termen^[36]
- het resultaat van het vormen van de rij der partieelsommen^[37]
- het koppel van een rij en z’n somrij^[38]
- een geïndiceerde som^[39]
- een rij waarvan de termen opgeteld dienen te worden^[40]
- een formele som^[41]
- een bepaalde formele uitdrukking^[42]
- een rij van zijn partiële sommen^[43]
- een rij waarvan de termen de partieelsommen zijn van een andere rij ^[44]
- de som van de termen van een rij^[45]
- een oneindige som^[46]
- het resultaat van het optellen van de termen van een oneindige rij^[47]
- een wiskundig proces dat vraagt om een oneindig aantal optellingen^[48]
- een rij van termen waaruit een rij van partiële sommen is afgeleid^[49]
- een som van een aftelbaar aantal termen^[50]
- de afbeelding die aan een rij z’n somrij (partieelsommenrij) toevoegt^[51]
- het resultaat van het vormen van de som van alle termen van een rij^[52]
- een oneindige optelling van getallen^[53]
- de limiet van de somrij van een sommeerbare rij^[54]
- het resultaat van het belangstelling hebben voor de partiële sommen van een rij^[55]
- de bewerking van het een voor een toevoegen van termen van een rij^[56]
- de optelling van een oneindige rij termen^[57]
- een som met oneindig veel termen^[58]
- een recurrente rij^[59]
- diversen^[60]
- geen poging tot betekenis-beschrijving^[61].

~~Reeksvoorstelling en reeksontwikkeling~~^{Deze slotsectie wellicht geen deel van een eventuele artikel-aanpassing.}
Voorzover er aan de woorden 'reeksvoorstelling' en 'reeksontwikkeling' een verschillende betekenis wordt toegekend, komt dit neer op het onderstaande.

Een reeksvoorstelling van een getal of van een functie
Een irrationaal getal kan op veel verschillende manieren worden voorgesteld / weergegeven / gerepresenteerd. Het klassieke drietal^[62] is:
- reeksvoorstelling: als limiet van de partiële sommen van een gegeven rij;
- productvoorstelling: als limiet van de partiële producten van een gegeven rij;
- kettingbreukvoorstelling: als limiet van de partiële stapelbreuken van een gegeven rij.
Voor de laatste geldt dat ieder irrationaal getal een unieke kettingbreukvoorstelling heeft.

Voorbeelden van reeksvoorstellingen:
Het getal ${\textstyle \,\pi ^{2}/6\,}$ kan ook beschreven als 'de limiet van de partieelsommen van de rij der omgekeerde kwadraatgetallen',
in formulevorm: $\quad \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {1}{k^{2}}}\quad$ of $\quad \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}\quad$ of $\quad {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\cdots \,$
De functie ${\textstyle \,x\mapsto \sin x\,}$ kan ook beschreven als 'de limiet van de partieelsommen van een zekere rij machtsfuncties',
in formulevorm: $\quad x\mapsto \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {(-1)^{k-1}}{(2k-1)!}}\,x^{2k-1}\quad$ of $\quad x\mapsto \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k-1}}{(2k-1)!}}\,x^{2k-1}\quad$ of $\quad x\mapsto {\tfrac {1}{1!}}x-{\tfrac {1}{3!}}x^{3}+{\tfrac {1}{5!}}x^{5}-\cdots$
Bij elk getal en elke functie zijn oneindig veel reeksvoorstellingen mogelijk: zo zijn ${\textstyle \,{\frac {1}{4}}{+}{\frac {1}{8}}{+}{\frac {1}{16}}{+}\cdots \,}$ en ${\textstyle \,{\frac {1}{3}}{+}{\frac {1}{9}}{+}{\frac {1}{27}}{+}\cdots \,\ }$ allebei reeksvoorstellingen voor 'een half'.
En voor het irrationale getal ${\textstyle \,\pi ^{2}\,}$ zijn het bijvoorbeeld ${\textstyle \,{\frac {6}{1^{2}}}{+}{\frac {6}{2^{2}}}{+}{\frac {6}{3^{2}}}{+}\cdots \,}$ en ${\textstyle \,{\frac {8}{1^{2}}}{+}{\frac {8}{3^{2}}}{+}{\frac {8}{5^{2}}}{+}\cdots \,}$ en ${\textstyle \,{\frac {12}{1^{2}}}{-}{\frac {12}{2^{2}}}{+}{\frac {12}{3^{2}}}{-}\cdots \,}$ .

De reeksontwikkeling van een functie
Als voorbeeld van een reeksontwikkeling dient hier de reeksontwikkeling 'volgens Taylor'.
Zij $\,f\,$ een functie die in een domeinpunt $\,a\,$ oneindig vaak differentieerbaar ('glad') is, dan heet de functie-rij

\mathrm {T} f(x;a)\ =\ \left({\tfrac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x{-}a)^{n}\right)_{n=0,1,2,\,\cdots }

de Taylorontwikkeling van functie f in punt a. Doorgaans genoteerd als

\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x{-}a)^{n}\quad

of

\quad f(a)+{\tfrac {f'(a)}{1!}}(x{-}a)+{\tfrac {f''(a)}{2!}}(x{-}a)^{2}+{\tfrac {f'''(a)}{3!}}(x{-}a)^{3}+\cdots \

.

De Taylorrij kan voor een bepaalde $x$ in het domein van $f$ al dan niet sommeerbaar zijn (vaak afhankelijk van de afstand tussen $x$ en $a$ ). En als de rij voor die $x$ wel een som heeft, is die som niet altijd gelijk aan de waarde van $f$ in dat punt.
Wanneer de Taylorrij van $f$ in $a$ voor alle $x$ binnen een zekere omgeving van $a$ als som $f(x)$ heeft, dan heet functie $f$ 'analytisch in $a$ '.

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Noot: Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'reeks' in Nederlandstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'rij' :
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Eene menigte grootheden, waarvan ieder volgende naar eene zekere wet, aan alle gemeen, bepaald wordt, draagt den naam van rij of reeks, " .
– P.J. Prinsen, Anoldus Bastiaan Strabbe's Eerste beginselen van de arithmetica of rekenkunst, vierde deel, 4e druk 1832, blz. 163: "Eene oneindige reeks is een vervolg van breuken, die steeds in een bestendige orde voortgaan, ".
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 25: "Men noemt in het algemeen eene reeks eene opeenvolging van termen die volgens eene bepaalde wet van elkander afhangen, en die op eene gegevene wijze op elkander volgen."
– B.L.de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 146: "Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens zekere wetten van elkander afhangen."
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: &thinsp"Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens eene zekere wet van elkaâr afhangen."
– J. Versluys, Tijdschrift voor vormleer, rekenkunde en de beginselen der wiskunde, 1882 Jrg.4, blz. 45: "Wil men een bepaling van reeks geven, dan zou men kunnen zeggen, dat een rij van getallen een reeks is."
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 1: "Elke rij van getallen, positieve of negatieve, geheele of gebroken, meetbare of onmeetbare, die op de een of andere wijze van elkaar afhangen, kan men een reeks noemen."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 167: "Een reeks is een opvolging van getallen die aan een bepaalden wet van wording voldoen."
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige reeksen Bijvoegsel van het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde gewijd aan onderwijsbelangen, 1924/25, jrg.1 nr. 4, blz. 142-160: "een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk (d.w.z. positief geheel) getal) een grootheid toeordent."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, deel 1, 2e druk 1933, blz. 119: "Is u_n een functie van het indexgetal n, dan heet de rij getallen: u₁, u₂, u₃ ....u_n,.... een oneindig voortloopende reeks van constante getallen u_n."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, leerboek voor de acte wiskunde l.o., deel II, 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".
– O. Donker, Handleiding no. 3, analyse - reeksen, 1948, blz. 5: "Een rij is een verzameling van een oneindig aantal onsamenhangende termen. Een reeks is een verzameling van een oneindig aantal samenhangende termen. Een reeks is dus op te vatten als een geordende rij. De termen van een reeks zijn samenhangend; d.w.z. een volgende term is steeds uit een voorgaande af te leiden."
– B.Marius, A.C.Valkenaars, Algebra voor de kweekschool, 1961, blz. 87: "Een reeks is een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd is."
↑ In Nederlandse schoolboeken, tot de introductie van het woord 'rij' rond 1960, werd een oneindige getallenrij uitsluitend met 'reeks' aangeduid:
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra met vraagstukken, deel 4, 2e1907
– A. van Thijn, Leerboek der Algebra, met vraagstukken, deel 3, 2e1918
– S. Osinga, Beknopt leerboek der algebra, 1e1918
– S. Osinga, Rekenboek voor aspirant-machinisten en machinisten ter koopvaardij, 2e1919
– P. Wijdenes, D. de Lange, Leerboek der algebra, deel 3, 4e1921
– P. Wijdenes, Middelalgebra (ééndelig), 1e1921
– L. Yntema, A.J. c.s., 'Algebra voor VHMO, deel 3: 1e1926
– H.C. Derksen, Algebra /vraagstukken met theorie, deel 3, 3e1926
– C.A. van Beek, W.H.C. van Heek, Algebra /voor Onderwijzersopl. en Hoofdakte-studie, 2e1926
– J.C. van Velthoven, Overzicht der algebra/voor het eindexamen gymnasium en hbs, 1e1935
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 1e1935
– P. Wijdenes, Lagere algebra II (Vergelijkingen, Functies, Grafieken, Reeksen), 3e1935
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra /ten dienste der hbs, deel 3, 2e1936
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra IV-gymn., 1e1946
– B. Coster, A. van Dop, Algebra voor het eindexamen, 1e1950
– G.N. Meurs, S. de Vries, Algebra (serie: Op hoger plan, voor U.L.N.O…) deel 2, 5e1950
– P. Jansen, G.W. van Brink, Beknopte theorie der rekenkunde, 9e1951
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-bèta, 1e1952
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-alfa, 1e1953
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 8e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 3 4e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 2 7e1956
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Algebra voor het eindexamen, 3e1956
– P.J.G. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra voor VH&MO, deel 3, 2e1957
– C.J. Alders, G.J. Hietbrink, Algebra voor kweekscholen, 2e1958
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 32e-35e druk 1959
– E.J. Peusken, A.J. de Boer, Leerboek der algebra (serie B, v. V&M Nijverh.O), 3e1959
– G. Smit, Verzameling van algebraïsche vraagstukken met de theorie, deel 3, 21e1960
– C. Munk, J. Schaafsma, Algebra /bestemd voor het kweekschoolonderwijs, 1e1960, 2e1963
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 11e1961
– G. ter Hennepe, J.W. Oostenga, Algebra /leerboek voor het ulo-onderwijs, deel 3, 1e1962
– H. Vergoossen, Algebra (UTO-reeks), deel 2, 4e1963
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'Reihe' in Duitstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'Folge' :
– J.F. Lorenz, Die Elemente der Mathematik, erster Theil: Die reine Mathematik, 2. Aufl. 1793, blz. 55: "Eine Reihe, series, heiszt eine Menge von Gröszen [...], deren jede nach einem gewissen allen gemeinschaftlichen Gesetze bestimmt wird."
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, ca. 1800, blz. 390-395: "... man beschränkt daher in der höhern Mathematik den Ausdruck Reihe auf den Inbegriff solcher Grössen, die, insofern man jeder derselben ihre eigene Stelle anweiset, d.i. die erste, zweite, dritte Grösse u.s.f. unterscheidet, alle nach einem Princip bestimmt werden. "
– G. von Vega, Vorlesungen über die Mathematik, erster Band: Rechenkunst und Algebra, 3. Aufl. 1802 (idem: 7.Aufl. 1850), blz. 305: "Eine Folge von Gröszen, welche nach einem bekannten Gesetze wachsen, oder abnehmen, wird überhaupt eine Reihe, oder Progression, [...] genennt."
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 113: "Eine Reihe heisst eine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– J.C. Fischer, Reine Elementar-Mathematik, 1820, blz. 165: "Unter einer Reihe oder Progression (series s. progressio) versteht man eine Menge von Grössen oder Gliedern (termini), welche ingesammt von einem allgemeinen Gesetze abhangen."
– J.F. Lorenz, Grundlehren der allgemeinen Gröszenberechnung ..., ersten Theils zweyte Abtheilung, 5. Aufl. 1821, blz. 166: '" Eine Reihe, series, ist jede Folge von Gröszen [...] die alle nach einem gemeinschaftlichen Gesetze [...] bestimmt werden, ".
– G.S. Klügel, C.B. Mollweide, Mathematisches Wörterbuch, vierter Theil Q bis S, 1823, blz. 272 (abusievelijk genummerd 274): "Reihe (Series) ist erstlich eine Folge von Gröszen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze gebildet werden; zweytens eine nach irgend einem Gesetze entwickelde Folge der Theile einer Grösze, welche eine Function einer andern ist, nach deren Potenzen gewöhnlich die Glieder der Reihe fortschreiten. [...] blz. 273: Die Reihen der ersten Classe heissen oft und schicklich Progressionen."
– J. von Gott Bundschue, Lehrbuch der Arithmetik,1824, blz. 203-204: "Eine Menge von Gröszen, derer jede nach einem allgemeinen Gesetze bestimmt ist, wird eine Reihe (Series) oder eine Progression (Progressio, von progredior - fortgehen) genannt; ".
– J.A. Eytelwein, Grundlehren der hohern Analysis, erster Band, 1824, blz.76: "Wenn mehrere auf einander folgende Gröszen nach irgend einem Gesetze fortschreiten, so bilden solche eine Reihe (Series), ".
– A. von Ettingshausen, Vorlesungen über die höhere Mathematik, erster Band: Vorlesungen über die Analysis, 1827, blz. 12: "Eine Folge von Gröszen, welche hinsichtlich ihres arithmetischen Baues nach einem gemeinschaftlichen Gestetze fortschreiten, heiszt eine Reihe."
– A. Burg, Compedium der höhern Mathematik, 1836, blz. 126: "Eine nach irgend einem Gesetze gebildete Folge von Gröszen wird Reihe [...] genannt."
– D.F. Hecht, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, . . ., 3.Aufl. 1853, blz. 61: "Eine Progression oder Reihe ist jede Folge von Gröszen oder Gliedern, die alle nach einem gemeinschaftlichen Gesetze [...] bestimmt werden,".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz.2: " Reihe = jede Folge von Gröszen, welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind."
– J. Helmes, Die Elementar-Mathematik ..., erster Band, zweiter Theil, 1864, blz. 425: "Unter Reihe oder Progression überhaupt versteht man eine Folge von Zahlen, von denen jede nachfolgende aus der vorhergehenden nach einem und demselben Gesetze gebildet wird."
– C. Spitz, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, erster Theil, 1874, blz. 412: "Eine Folge von Gröszen oder Zahlen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze fortschreiten, heisst eine Reihe oder Progression."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Man nennt "Reihe" eine unbegrenzte Folge von Zahlgröszen u₀, u₁, u₂, u₃, etc..... , welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Xav. Pfeifer, Der goldene Schnitt, 1885, blz. 4: "Die mathematische Reihe ist eine Folge von gleichartigen Gröszen, welche nach einem bestimmten Gesetze fortschreitet."
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 178: "Unter einer Reihe versteht man eine unbegrenzte Folge von Zahlgröszen u₁, u₂, u₃, u₄, . . . welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Es seien u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n die aufeinander folgenden Glieder einer Reihe, so gebildet, dass jedes Glied aus dem vorhergehenden in gesetzmässiger Weise abgeleitet werden kann."
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "Eine Reihe besteht aus einer Anzahl von Gliedern, die nach demselben Gesetze gebildet sind." blz. 159:"Die Anzahl der Glieder einer Reihe kann unendlich wachsend angenommen werden. Man erhält dann eine unendliche Reihe."
– H. Weber, Encyklopädie der elementaren Algebra und Analysis, 2. Aufl. 1906, blz. 395: "Unter eine Zahlenreihe verstehen wir eine gesetzmässige Aufeinanderfolge von Zahlen irgend welcher Art: ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\,}$ und nennen diese Zahlen auch die Glieder der Reihe."
– P. Epstein (oorspr. Italiaans E. Pascal), Repertorium der höheren Analysis, 1. Hälfte, 2. Aufl. 1910, blz. 421: "Eine nach irgendeiner Vorschrift gebildete Folge von Zahlen ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ heisst eine Reihe. "
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919, idem 3. Aufl. 1921, blz. 171: "[...] ${\textstyle \,u_{1};\ u_{2};\ u_{3};\ \cdots \ }$ [...] heisst jedesmal eine unendliche Reihe ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 189: "Bildet man bei einer arithmetischen Reihe die Summen, die sich nacheinander durch Hinzunahme von immer mehr Gliedern ergeben, so entsteht eine neue Zahlenfolge oder Reihe."
– G. Kowalewski, Die klassische Probleme der Analysis des Unendlichen, 3. Aufl. 1938, blz. 1: "so findet man a, aq, aq², . . . Dies ist eine geometrische Reihe ... ."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Dabei ist nun jede komplexe Zahlenfolge (u_n)_n eine unendliche Reihe . . .".
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'série' in Franstalige studieboeken, vóór circa 1880:
– A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, u₂, u₃, &c. ... qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée. "
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 486), blz. 520: "On appelle suité infinie, série infinie, ou simplement suite, série, une expression composée d'un nombre illimité de termes. La série est dite régulière, lorsqu'à partir d'un certain terme tous les suivants peuvent être formés d'après une même loi."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 25: "On appelle série une suite de grandeurs déterninées dont le nombre est indéfini."; blz. 437: "On appelle série une suite de termes positifs ou négatifs, dont le nombre est infini."
– Ch. Sturm, Cours d'analyse, tome I; 2me édition, 1863, blz. 40: "Une série est une suite composée d'un nombre infini de termes formés tous après une loi déterminée."
– C. Méray, Nouveau précis d'analyse infinitésimal, 1872, blz. 19: "Une série est une suite de quantités réelles ou imaginaires en nombre illimité se calculant successivement suivant une loi donnée."
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, ··· u_n, ··· formées suivant une loi déterminée."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est une suite illimitée de nombres se succédant d'apres une loi déterminée;" .
– G. Dubois, Définition des series formelles, 2015 (of later): "Une série formelle (à coefficients dans ${\textstyle \,A\,}$ ) est tout simplement un élément de l'espace produit ${\textstyle \,A^{\mathbb {N} }}$ . Donc une série formelle est une suite ${\textstyle \,S=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ . Nous rappelons qu'une telle suite n'est rien qu'n autre nom pour une application de ${\textstyle \,\mathbb {N} \,}$ dans ${\textstyle \,A\,}$ .
↑ Betekenisbeschrijvingen van 'series' in Engelstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'sequence' :
– A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation, [...] ".
– J. Wood, The elements of algebra, 12th edition 1845, blz. 232: "An infinite series is a series of terms proceeding according to some law, and continued without limit."
– W.M. Buchanan, A Technological Dictionary: explaining . . ., 1846, blz. 655: "SERIES, - 2. In analysis, a succession of terms, or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– H.L. Horton, Mathematics at work; first edition, 1949, blz. 2-23: "A series is a succession of terms whose formation is governed by the Law of the Series, each term being derived from one or more preceding terms by the provision of this law."
– A.A. Klaf, Arithmetic refresher for practical men, 1964, blz. 266: "What is a series? A succession of terms so related that each may be derived from one or more of the preceding terms in accordance with some fixed rule or order."
↑ Beschrijvingen van de wiskundige betekenis van het Latijnse 'series' :
– Groot en volledig woordenboek, 1758, blz. 324: "ONEINDIGE Ry, REEK of SCHAKELING, Infinita Series, is eene Ry van oneindige Getalen, die na een zekere Order geduurig voortgaan, zoodanig, dat men dezelven daar door duidelyk begrypen, en van alleen anderen Ryen der Getallen onderscheiden kan. "
– Paulus Mako, Compendiaria matheseos institutio, editio tertia 1771, blz. 209 Caput V, De seriebus: "Series est ordo quantitatum certa aliqua, et constanti lege excipientium. E.g. progressiones arithmeticae, et geometricae sunt series".
↑ Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ . Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ :
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})/n\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$ .
↑ (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet, (3) (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.
↑ – R.C. Buck, Advanced calculus, 1956, blz. 105: "An infinite series is often defined to be "an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }a_{n}}$ ". It is recognised that this has many defects.
– P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In het Nederlandse V.H.M.O wordt doorgaans tussen rijen en reeksen geen duidelijk onderscheid gemaakt."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The terminology introduced in this definition [a sequence is summable if the sequence of its partial sums converges] is usually replaced by less precise expressions;".
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Het taalgebruik t.a.v. reeksen is traditioneel slecht. [...] Het lukt overigens niet goed om 'reeks' als substantief op te vatten. Het is vaak een soort metaterm, zoals 'linkerlid', waarmee men spreekt over de expressies die men heeft opgeschreven."
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1 1994, blz. 284: "Men noemt de getallen ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ de termen van de reeks. (N.B. Dit zijn ook de termen van de rij ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ . De termen van de rij ${\textstyle \,\{S_{n}\}\,}$ zijn echter ${\textstyle \,S_{1},S_{2},S_{3},\ldots \,}$ ") .
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker:Teil 1, 2006, blz.156: "Eigentlich sind Reihen nichts anderes als spezielle Folgen..."
– A. van Rooij, Nieuw archief van wiskunde, 5/10 nr.1, 2009, blz. 63: "Logischerwijze is de derde term van de reeks ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ op deze manier ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}\,}$ , maar in de boeken is hij steevast ${\textstyle \,a_{3}\,}$ ."
– M. Ryan, "Calculus for dummies", 2nd edition 2014, blz. 326: "By the way, if you're getting a bit confused by the terms sequence and series and the connection between them, you're not alone. [...] The reason for getting into the somewhat confusing notion of a sequence of partial sums is that the definitions of convergence and divergence are based on the behavior of sequences, not series."
– G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "La distinction entre suite et série est donc bien mince. Les séries sont des suites particulières et toute suite peut être vue comme une série."
– J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "Sequences and series is often a difficult topic for students. It is easy to get sequences and series confused since a lot of the same terminology is used for both. A sequence is a list of numbers while an infinite series is a sum." [Commentaar: wat wordt bedoeld met 'a sum' ?]
↑ Noot: Vertalingen van 'reeks' zijn: Frans série, Engels series, Duits Reihe. En van 'rij': série, series, Folge.
↑ Vroege voorkomens van 'convergente rij':
– J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable, 1886, blz. 44: "Soit u₁, u₂, ..., u_n, ... , une suite infinie quelconque; si elle est convergente et a pour limite le nombre U, [...]".
– O. Biermann, Vorlesungen über mathematischen Näherungsmethoden, 1905, blz. 2: "Allgemein sagt man, eine Reihe [Commentaar: let op "Reihe".] von Gröszen ${\textstyle \,c_{0},c_{1},c_{2},\cdots \,}$ die nach einem bestimmten Gesetze hergestellt seien, bildet eine konvergente Zahlenfolge, wenn nach Angabe einer willkürlich kleinen . . . " .
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 23: "Die Folge (1) [ ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \,}$ ] heisst dann eine konvergente Zahlenfolge oder eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, und man setzt ${\textstyle \,A=\lim _{n=\infty }a_{n}\,}$ ."
– G. Kowalewski, Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen, 1910 (idem 2.Aufl. 1921, idem 3. Aufl. 1938), blz. 77-78: "...wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist, " .
– G. Kowalewski, Das Integral und seine geometrischen Anwendungen, 1910 (serie Forschung und Studium Heft 1), blz. 1: "Man nennt die Folge konvergent und g ihren Grenzwert. Man sagt auch, dass die Folge (oder x_n) nach g konvergiert."
– O. Perron, Irrationalzahlen, 1921 (idem: 2. Aufl. 1939), blz. 48: "Eine Folge von Zahlen heisst konvergent, wenn sie einen endlichen Grenzwert hat,".
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (gelijksoortig: 5.Aufl. 1964, blz. 64-65), blz. 60: "Ist (x_n) eine vorgelegte Zahlenfolge und steht sie zu einer bestimmten Zahl ξ in der Beziehung, dass (x_n−ξ) eine Nullfolge bildet, so sagt man, die Folge (x_n) konvergiere gegen ξ , oder sie sei konvergent mit dem Grenzwert ξ , oder sie (bzw. ihre Glieder) näherten sich dem (Grenz-) Werte ξ, sie strebten gegen ξ , hätten den Limes ξ ."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A."
– A. Hurwitz, R. Courant, Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, 3. Aufl. 1929, blz. 8: "Eine unendliche Folge komplexer Zahlen [...] wollen wir konvergent nennen, wenn [verwijst in voetnoot naar "Knopp, Unendliche Reihen, 2. Aufl.1924]."
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 21-22: "...noemt men de getallenrij (a_n) , uitvoeriger geschreven: a₁, a₂, a₃, . . . ., a_n, . . . convergent, als er een vast eindig getal L bestaat...".
– D.N. van der Neut, Limitaties en sommaties (proefschrift), 1933, blz. 1: "Met het symbool [...] {x_n} [wordt steeds bedoeld] de oneindige rij der getallen x_n (n=0,1,2,....), onverschillig of [...] de rij convergent is."
↑ Vroege voorkomens van 'convergerende rij':
– A. Pringsheim, "pages":[54,"view":"info"} Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, zweiter Band Analysis, erster Teil], 1899, blz. 32: "Ist a irgend eine bestimmte Zahl, für welche die Folge f_n(a) konvergiert,".
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A.".
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 25: "Als de rij zelve convergeert, is ook de rij van de moduli der termen convergent; ".
↑ – A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s_n s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série."
– A-L. Cauchy, Résumé des leçons ... sur le calcul infinitésimale, tome premier, 1823, blz. 145: [gelijk aan Cauchy 1821].
– A-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différentiel, 1829, blz. 10: [gelijk aan Cauchy 1821].
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 487), blz. 520: "Les series qui remplissent cette condition sont appelées convergentes."
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 27: "men noemt daarom eene oneindige reeks van termen wier som tot eenen bepaalden limiet nadert convergent."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée. [...] Lorsque la somme des termes de la série tend vers une limite finie et déterminée, on dit que la série est convergente."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 437: "On dit qu'une série est convergente, lorsque la somme des n premiers termes tend vers une limite déterminée".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: "Indien bij het toenemen van het aantal termen hunne som een bepaald getal nadert, dan noemt men de reeks convergent."
– J.K. Becker, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, zweiter Buch, 1877, blz. 133: "Man nennt eine solche Reihe mit endlicher Summe eine convergente Reihe."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Wenn alsdann für stets zunehmende Werte von n die Summe s_n sich einer gewissen Grenze s beliebig nähert, so werden wir die Reihe convergent nennen,"
– J.G. Hagen, Arithmetische uns Algebraïsche analyse, 1891, blz. 70: "Eine unendliche (einfache oder vielfache) Reihe heisst convergent, wenn sich die Summe ihrer Glieder mit wachsender Anzahl einem bestimmten Grenzwerthe nähert,".
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "Si, pour une valeur indéfiniment croissant de n, la somme s_n tend vers une limite finie et déterminée s, la série est dite convergente;"
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 179: "Ist die Summe einer Reihe [...] eine endliche Zahl, so nennt man die Reihe convergent,"
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra, vierde deel, 1899 (idem: 2e druk 1907), blz. 95: "Een rij van getallen noemt men een reeks, als elk der getallen, bij een bepaald getal te beginnen, volgens een vaste wet uit één of meer voorgaande kan afgeleid worden." Blz. 99: "Wanneer de som van n termen eener reeks bij het onbepaald grooter worden van n nadert tot een limiet, dan noemt men de reeks convergent."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Wenn [...] lim_n→∞ s_n = s ist, so heisst die Reihe (u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n) konvergent und s ihre Summe."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est convergente si la somme de ses n premier termes S_n tend vers une limite S,"
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 160: "Eine unendliche Reihe, die eine endliche Summe hat, heisst konvergent;"
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 169: "Indien nu, voor lim n = ∞, de waarde van S_n nadert tot een bepaalde limiet S, zoo noemt men de oneindig voortlopende reeks convergent en heet S hare som."
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919 blz. 174: "Eine uneindliche Reihe mit konstanten Gliedern heisst konvergent, wenne die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positiven Zahl n einem Grenzwert zustrebt,"
– Hk. de Vries, Leerboek der differentiaalrekening en integraalrekening ..., deel 1, 1e dr. 1919, blz. 274-275: "Nadert de som der eerste n termen eener oneindige reeks bij steeds aangroeiende n tot een bepaalde, eindige limietwaarde, dan noemt men de reeks convergent; ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 197: "Eine unendliche Reihe, die in diesem Sinne eine endliche bestimmte Summe hat, heisst konvergent, "
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– R.H. Rooda, Analyse, I Differentiaalrekening, 1930 (?), blz. 91: "Een reeks is een rij van getallen of functies, welke volgens een bepaalde wet uit elkander kunnen worden afgeleid." Blz. 91: "Een reeks heet convergent, indien de som der eerste n termen nadert tot een standvastige, eindige grenswaarde, ".
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra, derde deel, 1931 (idem: 2e druk 1936, 3e druk 1939), blz. 100: "Een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks; Blz. 108: " Een reeks, waarbij ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat, heet convergent."
– P. Wijdenes, Nieuwe School-algebra, deel III, 2e druk 1928, blz.96 en 113 (idem deel II, 12e druk 1942, blz. 160 en 183): "Een rij van getallen, die volgens een bepaalde wet gevormd worden, heet een reeks; [...] Men zegt, dat de meetkundige reeks voor ${\textstyle |r|<1}$ convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat."
– Ph. Kohnstamm, Keur uit het didactisch werk van prof. dr Ph. Kohnstamm, 1935 (Rede ter opening van de lessen van het Nutsseminarium), blz. 367: "Een convergente reeks is een rij van getallen zo gebouwd, dat haar som, [...] van een bepaalde grens afligt."
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra III-H voor m.o., 3e druk 1951, blz. 76: "Een reeks is een rij getallen." Blz. 91: "Een oneindig voortlopende reeks, die een som heeft, heet convergent;" .
– Joh.H. Wansink, "Reken- en stelkunde – leerboek der algebra", 1956 dl.2, 7e druk, blz. 177: "Onder een reeks verstaat men elke getallenrij, volgens een bepaald voorschrift gevormd." Blz. 189: "Reeksen, waarvoor lim_n→∞S_n bestaat, noemen we convergente reeksen; ".
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 2e druk 1957, blz. 66: "Een rij getallen wordt ook wel een reeks genoemd." Blz.85: "Een oneindig voortlopende reeks heet convergent, als hij een som heeft, ".
– C.W. Wolfswinkel, J. Vermeer, De exacte vakken op het eindexamen H.B.S.-B, 1957 dl.1A, blz. 53: "Een reeks is een rij van getallen, die alle volgens een bepaald voorschrift worden afgeleid ". Blz. 53: "Als lim_n→∞S_n bestaat en eindig is, dan heet de reeks convergent, ".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 7e druk 1958, blz.307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks;" Blz. 323-324: "Men zegt, dat de meetkundige reeks voor |r|<1 convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat lim_n→∞ S_n bestaat."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."
↑ – J.G.C. Kiesewetter, Fortsetzung der Anfangsgründe der reinen Mathematik, 1818, blz. 24: "Eine Reihe, bei deren Fortschritt man sich immer mehr ihrem Gesammtwerthe nähert, heisst konvergirend; ".
– L.C. Schulz von Strassnitzki, Arithmetik, 2. Aufl. 1848, blz. 498: "Dieses Nähern der Summe der Glieder einer Reihe, je mehr als man Glieder nimmt, nennet man das Convergiren der Reihe, und je rascher die Annäherung gehet, desto convergirender nennt man die Reihe."
- B.L. de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 199: "Eene reeks convergeert wanneer de som van hare termen voor eene limiet vatbaar is."
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. van Aller, Leerboek der hoogere stelkunde, 2e druk 1914, blz. 201: "Een reeks heet convergeerend, indien de som van de eerste n termen nadert tot een standvastige grens,".
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."
– S.T.M. Ackermans, J.H. van Lint, Algebra en analyse, 1970, blz. 222: "We zullen spreken van "de reeks ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots }$ " of "de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ". Als lim_n→∞ s_n bestaat (noem de limiet s) dan zeggen we dat de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ convergeert en we noemen s de som van de reeks."
↑ – P.J.G. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 188: "sommeerbare rij (voor: oneindige rij, waarvan de getallen een som hebben)".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 282: "een sommeerbare rij, d.w.z. lim_n→∞ s_k bestaat, "
– Wimecos-commissie (C.J. Alders c.s.), Ontwerp leerplan-wiskunde voor h.a.v.o., 1e druk 1966 (idem 3e druk 1969), blz. 12: "3.3 Klassen 4 en 5 [...] Sommeerbare meetkundige rijen."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The sequence {a_n} is summable if the sequence {s_n} converges. In this case lim_n→∞s_n is called the sum of the sequence {a_n}. Ook: absolutely summable, Cesaro summable, Abel summable, uniformly summable."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 5e druk 1967, blz. 90: "Als [...] dan heet de rij sommeerbaar. "
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 9e druk 1968, blz. 88: "Onder de som van een oneindige rij verstaan we ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ . Een oneindige rij heet sommeerbaar, als hij een som heeft."
– P.E. Lepoeter, Gids voor de algebra van de B-afdelingen van het v.h.m.o., 3e druk 1968, blz. 134: "Een oneindige rij heet sommeerbaar als lim_n→∞ s_k bestaat; " .
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 57: "Sommeerbare rijen ".
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1, 6e druk 1974 (idem 8e druk 1985), blz. 276: "Zij zeggen dan, indien lim_n→∞ S_n bestaat, [...] dat de rij {u_n} [...] sommeerbaar is."
– A. van Rooij, Analyse voor beginners, 2e druk 1989, blz. 71: "Stel nu eens dat deze rij s₁, s₂, ... een limiet heeft. Dan noemen we die limiet de som van de rij x₁, x₂, ..., en de rij x₁, x₂, ... heet sommeerbaar. "
– B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1996, blz. 177-179: "Een oneindige som is een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}t_{4}{+}\cdots \,}$ , waarbij ${\textstyle \,t_{1},t_{2},t_{3},t_{4},\ldots \,}$ de termen van een rij zijn. [...] We noemen de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ sommeerbaar, als de rij van partiële sommen ${\textstyle \,(S_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , voortgebracht door de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , convergeert."
– Profi-team (Freudenthal-instituut), Trajectenboek Wiskunde N&G en N&T vwo, 1998, blz. 54: "Een rij heet sommeerbaar als de bijbehorende somrij (d.i. de rij van partiële sommem) een eindige limiet heeft."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 42: "De rij (a_n) heet in dit geval sommeerbaar."
– C.S. Kubrusly, Elements of operator theory, 2001, blz. 201: "If the sequence of partial sums {y_n} converges [...] then we say that {x_n} is a summable sequence" . "If the real-valued sequence {||x_n||} is summable, then we say that {x_n} is an absolutely summable sequence ".
– F. Spijkers, Wiskunde-web, versie: oktober 2002, "Als de somrij van t_n convergeert, dan noem je die rij sommeerbaar. "
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "A complex sequence ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is summable if and only if the series ${\textstyle \,\sum \{a_{n}\}\,}$ is convergent."
– A.C.M. van Rooij, Nieuw archief voor wiskunde 5/10 nr. 1, 2009, blz.62 regel 37-39: "In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde. Een bonus is dat je het woord 'convergent' niet in twee betekenissen gebruikt."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "A sequence x₁, x₂, . . . of real numbers is summable if and only if the corresponding sequence of partial sums is a Cauchy sequence,".
– P.J. Bartlett, California Institute of Technology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "A sequence is called summable if the sequence of partial sums converges."
– gree, digiSchool-Mathématiques, Forum, 2015: "Soit ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,}$ une suite sommable de nombres complexes."
– K.P. Hart, Pythagoras (tijdschrift), 2014 nummer 6, blz. 24: "Een rij waaraan op deze manier een som is toe te kennen heet sommeerbaar."
– O. Riesen, Dokumente für den Unterricht, website 2019, sectie Zahlenfolge / 3. Teilsummen, Reihen / Skript / 3.3 Allgemeine Teilsummen von Folgen / 1) c): "Eine (beliebige) Folge (a_n) heisst summierbar, wenn der Grenzwert der Teilsummenfolge (s_n) existiert.
↑ Ook al in de 19e eeuw kwam "die Reihe sey summirbar" voor naast "die Reihe convergire" (de partieelsommen benaderen een eindige grens):
– A. von Ettingshausen, Vorlesungen über die höhere Mathematik, erster Band: Vorlesungen über die Analysis , 1827, blz. 16: "Man sagt in diesem Falle, die unendliche Reihe ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\&}$ c. sey summirbar, oder sie convergire, ".
– J. Salomon, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 2. Aufl. 1831 (idem 6. Aufl. 1859 blz. 442), blz. 549: "Eine Reihe welche [...], heisst eine summirbare Reihe, oder man sagt, die Reihe convergire, oder sey convergent, ".
– J. Salomon, "Lehrbuch der Elementar-Mathematik für Ober-Realschulen, erster Band: Die Elemente der Algebra, 1853 (idem 3.Aufl. 1865), blz. 312: "Eine Reihe, welche [...], heisst eine summierbare Reihe, oder man sagt, die Reihe convergire, oder sei convergent, ".
– A. Burg, Compendium der höhern Mathematik, 1836, blz. 127: "so sagt man die Reihe convergire oder sey summirbar; ".
– G.G. von Hembyze, Lehrbuch der algebraischen und geometrischen Analysis, 1857, blz. 30: "Man theilt demnach in dieser Beziehung die unendlichen Reihen in summirbare oder convergirende, und in nicht summirbare oder divergirende ein, ".
– J. Helmes, Die Elementar-Mathematik..., Erster Band: Die Arithmetik und Algebra Zweiter Theil, 1864, blz. 446: "Wenn sich die Summe einer solchen [unendliche] reihe [...] einer bestimmten Grenze nähert [...], so nennt man die Reihe eine convergirende oder eine summirbare, ".
↑ – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 98: "Sogenannte Summierbarkeit von Reihen. Als eine direkte Verallgemeinerung des Begriffes Konvergenz einer unendlichen Reihe hat man in der neuesten Zeit den Begriff Summierbarkeit einer Reihe eingeführt. [...] so heisst die uneindliche Reihe summierbar mit der Mittelsumme S."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946, blz. 7: "De redenen, welke wiskundigen er toe gebracht hebben naast het begrip der convergentie dat der sommeerbaarheid te stellen, zijn veelvuldig en gegrond."
↑ Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.
↑ – A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, connected together by the signs plus ans minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, proceeding according to some law or determinate relation, as 3, 5, 7, 9, &c. " (Commentaar: waarom geen plus- en mintekens in het voorbeeld?)
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige Reeksen, 1925, artikel in Euclides jrg. 1 nr. 4 pp.142-160. blz. 143: "Wat is een oneindige reeks? De tegenwoordige wiskunde beantwoordt deze vraag aldus: een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk getal een grootheid toeordent." Blz. 146: "Al naar nu bij het onderzoek van een oneindige reeks het voornaamste doel is het bedrag van de opeenvolgende termen te leeren kennen, dan wel in hoofdzaak het bestaan van een som ons interesseert, spreekt men van fundamentaalreeks en van somreeks. Bij de laatste verbindt men de termen door + teekens."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946 (artikel), blz. 22: "De getallen van iedere rij vormen een convergente reeks, wanneer men er plus teekens tusschen plaatst en de volgorde niet wijzigt ".
- P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In de mathematische literatuur wordt onderscheid gemaakt tussen rijen en reeksen: ${\textstyle \ t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\ldots \ }$ is een rij, ${\textstyle \ \ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\ldots \ }$ is een reeks. "
– W. Maak, An introduction to modern calculus, (Duits 1960) 1963, blz. 40: "We have an infinite series if, between each two terms of an infinite sequence [...] we insert a plus sign: "
– L. Bers, Calculus, 1969, par. 4.1: "An infinite series is a sequence of numbers with plus signs between these numbers."
– M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz. 322: "Change the commas to addition signs and you've got a series;".
↑ Noot: Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.
↑ Oude voorkomens van het sommatie-teken:
– J. Liouville, Sur la sommation d'une série, 1837 (Journal de Liouville, Série 1, tome 2), blz. 107: "En représentant par ${\textstyle \,X_{0}+X_{1}z+etc.\,}$ ou par ${\textstyle \,\sum X_{n}z^{n}\,}$ le développement de ${\textstyle \,(1-2xz+z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,}$ , " .
– J. Bertrand, Règles sur la convergence des séries, 1842 (Journal de Liouville, tome septième), blz. 39 "donc la série ${\textstyle \,\sum u_{n}\,}$ a tous ses termes plus Petits que ceux de la série convergente ${\textstyle \,\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}\,}$ ".
↑ – M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 397: "In more formal language, the sequence {a_n} is absolutely summable if the sequence {|a_n|} is summable."
– H. König, Analyse 1, 1984, blz. 94: "Eine komplexe Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}\,}$ ist dann und nur dann absolut summierbar, wenn die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ absolut konvergent ist."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 43: "We noemen de rij (a_k) absoluut sommeerbaar indien de rij der absolute waarden (|a_k|) sommeerbaar is. "
↑ – J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "examples to demonstrate the difference between the limit and the sum of a series."
– Mathematics Support Centre (Maynooth Univ. Ierland), Handout, 2019(?): "Limit of a Series. [...] its limit, that is ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ ."
– wikiHow, How to determine convergence of infinite series, 2019(?): "If the limit of a series is 0, that does not necessarily mean that the series converges."
↑ Wél kwam voor: het 'naar een limietwaarde streven' of 'naar een limietwaarde convergeren' van een expressie met een discrete variabele n, of van 'de som van de eerste n termen'.
– A.-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différential, 1829, blz. 91: "Or la somme de ses n premiers termes [...] convergera [...] ou cessera de converger [...]". Blz. 96: "Si, pour des valeurs croissantes de n, le rapport ${\textstyle \,{\frac {\rho _{n+1}}{\rho _{n}}}\,}$ converge vers une limite fixe ".
↑ – J. Harris, Lexicon technicum, or, An universal English dictionary of arts and sciences : explaining not only the terms of art, but the arts themselves, 1708, blz. 717: "SERIES, properly speaking, is an orderly Process or continuation of things one after another. 'Tis commonly in Algebra connected with the Word Infinite, and there, by Infinite Series, is meant certain Progressions, or Ranks of Quantities orderly proceeding, which make continual Approaches to, and if infinitely continued, would become equal to what is inquired after."
– E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences; volume the second, 1728 (idem 6th edition 1750), blz. 59: "SERIES, in Algebra, a Rank or Progression of Quantities, increasing or decreasing in some constant Ratio, which, in its Progress, approaching still nearer and nearer some sought Value, is called a Converging Series, and if infinitely continued, becomes equal to that Quantity; whence its usual Appellation of Infinite Series: Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."
– D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1765, volume XV blz. 93: "SERIE ou SUITE, en Algebre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantité, qui croissent, ou décroissent suivant quelque loi : Lorsque la suite ou la série va toujours en approchant de plus en plus de quelque quantité fini , & que par conséquent les termes de cette série, ou les quantités dont elle est composée, vont toujours en diminuant, on l'appelle une suite convergente, & si on la continue à l'infini, elle devient enfin égale à cette quantité. Ainsi 1, ½, ¼, ⅛, &c. est une série convergente."
↑ – A.-L. Cauchy, Cours d'analyse, 1821, blz. 124: "[...] pour que la série ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2}\ldots u_{n},u_{n{+}1},\,\&\mathrm {c} .\,\ldots \,}$ soit convergente, il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme ${\textstyle \,s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\,\&\mathrm {c} .\,\ldots {+}u_{n-1}\,}$ vers une limite fixe s ".
Kennelijk gaat het bij de keuze tussen komma's en plustekens niet om een inhoudelijk verschil maar om de voorkeur van de auteur. Want waar N.H. Abel (in Untersuchungen über die Reihe ... 1826) A.-L. Cauchy (Cours d'analyse 1821) citeert, veranderen de komma's in bovenstaande reeks-notatie in plustekens: ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ ; zie "pages":[328,"panX":0.406,"panY":0.972,"view":"info","zoom":0.917} Crelle's Journal, voetnoot op blz. 316].
– M. Ohm, Versuch eines vollkommen consequenten Systems der Mathematik, zweiter Theil, 1829, blz. 1: "Eine Reihe von Ausdrücken von der Form ${\textstyle \,a,\,a+d,\,a+2d,\,a+3d,\,a+4d,\,\mathrm {etc.etc.} \,[...]\,}$ ,".
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "So sind ${\textstyle \,a,2a,3a,4a,5a,\ldots \,;\quad 1,2x,3x^{2},4x^{3},\ldots \,}$ Reihen," .
– J.M. Reichert, Analyse, vraagstukken met beknopte aanduiding der theorie ..., 1945 (of 1946), blz. 31: "Ga na of de reeks: ${\textstyle \,x\,\mathrm {sin} \,x,\,x^{2}\,\mathrm {sin} \,2x,\,x^{3}\,\mathrm {sin} \,3x\ldots \,}$ convergent of divergent is voor x = [...] (T.H. 1928). (Commentaar: in de beschrijving van de oplossing zijn de komma's vervangen door plus- en mintekens.)
↑ – E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences, 1728 (idem 6th edition 1750), bij trefwoord 'Series': "Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which Always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."
↑ – D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1754, volume IV blz. 165: "CONVERGENT, adj. en algebre, se dit d'une série, lorsque ses termes vont toûjours en diminuant. Ainsi 1, ½, ¼, ⅛, &c. est une série convergente."
– G.S. Klügel, Mathematisches Wörterbuch, erster Theil A bis D, 1803, blz. 555: "Eine Reihe ist convergirend, wenn ihre Glieder in ihrer Folge nach einander immerfort kleiner werden."
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Zamenloopende of convergerende reeksen zijn dezulke, welker opeenvolgende leden gedurig in waarde afnemen. "
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 120: "Nur konvergirende, das ist, abnehmende Reihen können Grenzen (ihrer Summen) haben, weil ihr sogenanntes letztes Glied verschwindet; ".
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Ich werde unter Convergenz, einer unendlichen Reihe schlechthin beigelegt, nichts anderes verstehen, als die beim unendlichen Fortschreiten der Reihe eintretende unendliche Annäherung ihrer Glieder an die 0. "
– De 'nulrij'-betekenis van "convergente Reihe" wordt ca. 1914 verouderd genoemd. In een voetnoot op blz. 833 van deel II-1.2 van de Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften zegt H. Burkhardt: Das Wort Konvergenz gebraucht übrigens Gauss bekanntlich noch im alten Sinne, in dem es sich nur auf die unbegrenzte Abnahme der Reihenglieder, nicht auf die Existenz eines Grenzwertes für die Reihensumme bezog."
– J.V. Grabiner, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, 1981, blz. 99: "In eighteenth-century work on series, sometimes a series is said to converge in the way that the hyperbola "converges" to its asymptote, that is, when its n^th term goes to zero;".
↑ – C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe".
↑ – J.-J. de Marguerie, "Mémoires de l'académie royale de marine, tome premier; Mémoire sur les suites, 1773, blz. 142-240: "Les suites sont une des plus grandes parties de calcul; la plus importante opération que l'on fasse sur elles, est de les sommer: mais de toutes les suites qui se rencontrent en cherchant à résoudre un problème, le nombre des suites exactement sommables est si petit, que les Géomètres ont tourné toute leur attention vers les suites insommables." [Commentaar: opvallend is het gebruik van 'suite' en niet 'série'.]
– A. Rees, The CYCLOPAEDIA; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literature, vol. XXXII, 1819, lemma 'Series' vijfde tekstkolom: "[...] that James [Bernoulli], having turned his attention to the doctrine of series, had discovered a few which were summable, and which he proposed to his brother;".
– G.S. Klügel, C.B. Mollweide, Mathematisches Wörterbuch, vierter Theil, 1823, blz. 560: "Summierbare Reihe ist, deren Summe durch einen endlichen Ausdruck sich angeben lässt."
– J. de Gelder, Beginselen der differentiaal-, integraal- en variatie-rekening, tweede deel, 1850 (bewerkt door Verdam), blz. 390: "Eene oneindig voortloopende reeks wordt gezegd sommeerbaar te zijn, wanneer de som van al derzelver termen in eene bepaalde stelkundige of transcendentale functie der veranderlijke grootheid, van welke de termen der reeks afhangen, volkomen en naauwkeurig wordt voorgesteld."
– D. Bierens de Haan, 'De Gids' boekbespreking: J. de Gelder, D&I-rekening deel 2, 1850, jrg.14 blz. 650: "Latere wiskundigen (onder anderen Prof. Schlömilch) noemen het voorstellen eener oneindige reeks onder den vorm van eene bepaalde integraal, dat is, van eene geslotene uitdrukking, het sommeren derzelve [...] kan dan zulk eene integraal door eene stelkundige of transcendentale functie worden voorgesteld - iets dat niet altijd het geval is - zoo is de reeks gesommeerd volgens de vroegere, minder algemeene bepaling."
– J. Knar, Archiv der Mathematik und Physik ..., artikel: Die harmonische Reihen, 1864, blz. 399 Vier gradaties van 'sommeerbaarheid':
"1. überhaupt analytisch summirbar, oder
2. analytisch summirbar, jedoch mit Ausschluss aller Kreis- oder der gleichgeltenden Exponential-Funktionen, ferner
3. analytisch summierbar, mit Ausschluss der logarithmen, endlich
4. algebraisch summirbar ".
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 86: "Solche Reihen, deren Summe in geschlossener Form dargestellt werden konnte, wurden in früheren Zeiten "summierbar" genannt; dieser Begriff ist aber wohl von dem modernen Begriffe der Summierbarkeit einer Reihe [Cesàro-sommeerbaarheid] zu unterscheiden."
– M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of mathematical functions, 1965, Dover edition blz. 1005, sectie 27.8.6: Onder sectie-hoofdje Summable Series, gesloten vormen voor de som van een zestal rijen.
– A.D. Wheelon, Tables of summable series and integrals involving Bessel functions, 1968, blz. 3: "A surprisingly number of infinite series can be summed in closed form, just as many integrals can be done analytically."
↑ – J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable I, 2ième éd. 1904, blz. 114: "on désigne sous le nom de série un symbole tel que $\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,$ " [Commentaar: In de 1ière édition 1886, blz.45 is nog géén sprake van 'un symbole'; wél, in één zin: "la suite infinie ${\textstyle \,s_{1},s_{2},...,s_{n},...,\,}$ est convergente", voorafgegaan door het definiërende: "La série ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ , est dite convergente,".]
– E. Cesàro, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung, 1904, blz. 118: "Eine der wichtigste Anwendungen der Theorie der Grenzwerte besteht darin, zu untersuchen, welche Bedeutung einem Aggregat von unendlich vielen Zahlen ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ beigelegt werden muss, und ob auf ein solches Aggregat, welches man als eine Reihe bezeichnet, immer die Eigenschaften die aus einer endlichen Anzahl von Teilen zusammengesetzten Summen anwendbar sind."
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (idem: 5.Aufl. 1964, blz. 100) blz. 93-94: " Unendlichen Reihen. Das sind Zahlenfolgen, die auf folgende Art gegeben werden. [...] Man gebraucht fur diese Folge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ die Symbolik $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,$ oder kürzer $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,$ oder noch kürzer und prägnanter ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ und nennt dies neue Symbol eine unendliche Reihe;" . [Commentaar: dezelfde naam voor een rij en voor een symbool !]
– F. Schuh, Lessen over de hoogere algebra III 1926, blz. 181: "De uitdrukking u₁+u₂+u₃+ ··· of ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }u_{n}\,}$ wordt een oneindige reeks (ook wel oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks) genoemd."
– TEGENSTEM: Door E.J. Dijksterhuis wordt de tekst van Schuh over 'reeksen' in alle opzichten volledig afgekraakt in een boek-recensie in het BIJVOEGSEL van het NTvW, 3e jrg. 1926/27 nr. 3-4, blz. 98 vanaf 'Intusschen ...'.
– P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Men noemt deze uitdrukkingen [ ${\textstyle u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ ] oneindig voortlopende reeksen, of kortweg reeksen."
– W.K. Morrill, Calculus, 1956, section 15.2: "If ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\cdots ,u_{n},\cdots \,}$ is a given neverending sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– H. von Mangoldt, K. Knopp, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (vanaf 6. Aufl. 1932 ingrijpend bewerkt door Konrad Knopp), 11. Aufl. 1958 blz. 196: "Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ " .
– L.J. Adams, P.A. White, Analytic geometry and calculus, 1961, blz. 566: ". . .the expression ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– J.R. Britton, R.B. Kriegh, L.W. Rutland, Calculus and Analytic Geometry 1963, blz. 835: "An expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\ldots \,=\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ is called an infinite series" .
– L. Kuipers, Handboek der wiskunde, 1963 (idem 2e druk 1966), blz. 220: "Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}u_{4}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ heet een (oneindige) reeks."
– E. Hille, Analysis, volume I, 1964, blz. 276: "With the sequence ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ we define the series ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ , which is usually written ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}\,}$ . This symbol ..." .
– W. Rudin, Principles of mathematical analysis 1964, blz. 51: "The symbol ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ we call an infinite series, or just a series".
– F. Bowman, F.A. Gerard, Higher calculus 1967, blz. 98: "An expression of the form ${\textstyle \ u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series" .
– F. van der Blij, J. van Tiel, Infinitesimaalrekening, 1969, blz. 213: "De uitdrukking ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ , ook wel geschreven als ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ , noemen we een reeks; ".
– Sze-Tsen Hu, Calculus 1970, blz. 614: "For any sequence ${\textstyle \,u:N\to R\,}$ , the expression ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is known as the (infinite) series with ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ as terms.
– The Open University, U.K., Sequences and limits II 1971, blz. 38: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ " .
– J.H.J. Almering c.s., Analyse, 2e druk 1977 (idem 1e druk 1974), blz. 216: "De aldus gevormde rij ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ wordt aangegeven met ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ en deze symbolische uitdrukking wordt reeks genoemd."
– H.-J. Schell, Unendliche Reihen, 1978, blz. 9: "Einen solchen Ausdruck nennt man eine unendliche Reihe (oft auch kurz Reihe)."
– C. Blatter, Analysis I 1980, Kapitel 7: "Ist ${\textstyle (a_{k})}$ eine Folge von Zahlen oder Vektoren, so heisst der Ausdruck ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ eine Reihe" .
– R.E. Larson, R.P. Hostetler, Calculus with analytic geometry, 1986, section 10.3: "If ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is an infinite sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series (or simply a series)."
– D.B. Small, J.M. Hosack, Calculus - An integrated approach 1990, blz. 569: "An infinite series or just series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ or, using the summation notation, ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ ".
– W. Swokowsky, Calculus, fifth edition 1991, blz.533: "An ínfinite series (or simply a series) is an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots }$ , or, in summation notation, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ or ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ " .
– Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik, 14. Aufl. 1995, "Ein solcher Ausdruck heisst unendliche Reihe."
– W. Walter, Analysis 1, 5. Aufl. 1999, blz. 86: "Wir nennen das Symbol ${\textstyle \,\sum _{n=p}^{\infty }a_{n}\,}$ oder $\,a_{p}{+}a_{p+1}{+}a_{p+3}{+}\ldots \,$ eine unendliche Reihe".
– V.A. Zorich, Mathematical analysis I, 2002, blz. 95: "The expression ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ is [...] usually called a series or an infinite series".
– H. Maassen, Calculus 1 en 2, 2004, blz. 42: "Een uitdrukking als ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ heet een reeks."
– G.B. Thomas Jr, Calculus - Eleventh edition 2005, blz. 763: "Given the sequence of numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}}$ , an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is an infinite series ".
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "We use variations [of ${\textstyle \,\left(\sum f\right)(n)\,}$ or ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}\,}$ ] , such as ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}_{n\geq 1}=\{\sum _{j=1}^{n}f(j)\}_{n\geq 1}\,}$ ."
– C.H. Edwards, D.E. Penney, Calculus - Early Transcendentals, 7th edition 2008, blz. 732: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ " .
– J. Stewart, Calculus, early transcendentals; 6th edition, 2008, blz. 687: ". . . an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ which is called an infinite series (or just series) ".
– J. Barnard (Univ. of South Alabama), Calculus III, 2012: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a1+a2+a3+\cdots \,}$ ."
– K. Hambrook (Univ. of Rochester-NY), Lecture notes, 2013, p.1: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ".
– P.W. Hemker, Echte wiskunde, 2013, blz. 67: " 'oneindige reeks' betekent: een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \ }$ of ${\textstyle \,\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$ "
– P. Shunmugaraj, Indian Inst. of Technology, Kanpur, Mathematics I, MTH 101A, Lecture Notes, 2016, Lecture 11-13 blz. 1: "Let (a_n) be a sequence of real numbers. Then an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ [...] is called a series."
– C. Caenepeel, J. De Beule, I. Goyvaerts, Wiskunde: Voortgezette Analyse (Vrije Universiteit Brussel) 2017, blz. 7: "Gegeven is de numerieke rij ${\textstyle \,(u_{n})}$ . Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\ldots \,}$ of, korter, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ noemt men een numerieke reeks.
↑ – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 85: "Ist in (3) [ ${\textstyle s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}}$ ] n eine endliche Zahl, so heisst die Summe rechter Hand eine endliche Reihe; lässt man aber in dieser Formel den Stellenzeiger n über jede Grenze hinauswachsen, so entsteht die unendliche Reihe ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ ."
↑ – G. Schouten, De grondslagen der rekenkunde, 1916 (idem in 2e druk 1927): "Wanneer tusschen elk paar opvolgende termen eener onbegrensde getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat er een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 1960 (idem: 5e druk 1967), blz. 92: "Wanneer tussen elk paar opvolgende termen ener oneindige getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks of kortweg reeks ."
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 60: "We spreken nu af, dat we de 'oneindige veelterm' ${\textstyle \,{\frac {1}{2}}{+}{\frac {1}{4}}{+}{\frac {1}{8}}{+}{\frac {1}{16}}{+}\ldots \,}$ een convergente reeks zullen noemen, omdat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }s_{n}\,}$ bestaat. Let wel: De woorden 'oneindige veelterm' slaan op de vorm van de notatie; ze definiëren nog niets!"
↑ – H.B.A. Bockwinkel, Kollege integraalrekening, 1932, blz. 2: "Onder een oneindige reeks verstaat men een oneindige rij, die gegeven is door zijn verschilrij."
↑ – J. Bloemsma, Mathematisch tijdschrift 'Christiaan Huygens', jrg.1934-1935 nr.VI, blz. 289: "Een reeks bestaat uit de som harer oneindig aantal termen, waarbij de laatste gedefinieerd zijn voor hun rangnummer in de som,".
– TEGENSTEM: P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Zulk een reeks moet niet gedefinieerd worden als de som van een oneindig aantal termen, maar als limiet van de som van een eindig aantal termen. "
– L.A. Lyusternik, A.R. Yanpols'skii, Mathematical analysis, (Russisch 1961) Engels 1965, blz. 85: "Infinite series, or simply series, are closely connected with sequences, e.g. ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \ =\ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ }$ is "the sum of an infinite number of terms". "
– TEGENSTEM: H. Meschkowski Mathematik als Bildungsgrundlage, 1965, blz. 54: "Unsere Paradoxie macht deutlich, dass ein Grenzwert einer Folge von Summen keine Summe ist, selbst wenn man sie formal als Summe schreibt."
– TEGENSTEM: H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Keinesfalls ist ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \ }$ als eine "Summe von unendlich vielen Summanden" aufzufassen — ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet."
– TEGENSTEM: H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Sie [die Notationen] sind ausserdem suggestiv bis an die Grenze der Gefährlichkeit, erwecken sie doch den Anschein, man würde aus der unendlichen Folge der Summanden a_n durch unendlich viele Additionen die Summe a erhalten; das sind aber selbstverständlich nur leere Worte."
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "Voordat we aan een reeks, dwz. aan zo'n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde kunnen toekennen, [...]." [Commentaar: Onduidelijk blijft waar het 'zo'n' naar verwijst, want voorafgaand is alleen gezegd hoe het bedoelde ding genoteerd wordt, nog niet wat het is.]
↑ – O. Haupt, Differential und Integralrechnung, I. Band, 1938, blz. 49: "Vom Begriff der Folge ist scharf zu unterscheiden der Begriff der (unendlichen) Reihe. Eine solche Reihe entsteht aus einer vorgegebenen Folge {a_ν}, indem man die Folge {s_n} der Teilsummen [...] bildet, und die "Reihe" ist — wenigstens für uns — gleichbedeutend mit der Folge der Teilsummen; . [...] Wir haben so den Begriff der Reihe zurückgeführt auf den Begriff der Folge (der Teilsummen)."
↑ – N. Bourbaki, Éléments de mathématique (première partie), Livre III (Topologie générale), Chapitre III (Groupes topologiques), éd. 1, 1942, blz. 42; éd. 2, 1951 blz. 42; éd. 3(revue et augmentée) 1960, blz. 66: "On appelle série définíe par la suite (x_n), ou série de terme générale x_n (ou simplement série (x_n), par abus de langage, s'il ne risque pas d'y avoir de confusion), le couple des suites (x_n) et (s_n) ainsi associées."
– M. Zamansky, Introduction à l'algèbre et l'analyse modernes, 1958, blz. 279: "On appellera série le couple des deux suites (u_n) et (s_n)."
– R.C. Buck, Advanced calculus, second edition, 1965, blz.158: "An infinite series of real numbers is a pair of real sequences ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{A_{n}\}\,}$ whose term are connected by the relations [...] ".
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, second edition, 1974, blz. 185: "The ordered pair of sequences ({a_n}, {s_n}) is called an infinite series."
– K. Maurin, Analysis, part I, 1976 (Pools 1973), blz. 116: "A pair ${\textstyle \,(\,(y_{n})_{0}^{\infty },\,(S_{n})_{0}^{\infty })\,}$ is called a series with the general term ${\textstyle \,y_{n}\,}$ ."
– M.H. Protter, C.B. Morrey, A first course in real analysis, 1977, blz. 210:" "An infinite series is an ordered pair ${\textstyle \,(\,\{u_{n}\},\,\{s_{n}\})\,}$ of infinite sequences in which ${\textstyle \,s_{n}=u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}\,}$ for each ${\textstyle n}$ ."
– Encyclopaedia of Mathematics, 1992, volume 8 blz. 284: "A pair of sequences of complex numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{s_{n}\}\,}$ [...] is called a (simple) series of numbers " .
– E.D. Gaughan, Introduction to analysis (1st ed. 1968) 5th ed. 1998, blz. 173: "An infinite series is a pair ${\textstyle (\,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\ \{S_{n}\}_{n=1}^{\infty })\,}$ [...]."
↑ – L.M. Kells, Calculus, 1943, blz. 397: "A series is the indicated sum of a succession of terms related by a law."
– R.R. Middlemiss, Differential and integral calculus, 1946, blz. 392: "The indicated sum of a sequence is called a series. "
– L. Zippin, Uses of infinity, 1962 (MAA nr.7), blz. 65: "A sequence of terms with indicated additions (or substractions) is called a series."
– L.A. Pipes, L.R. Harvill, Applies mathematics for engineers and physicists, third edition, 1970, blz. 820: "A series is the indicated sum of the terms of a sequence."
– F. Ayres, Differential and integral calculus, in SI metric units, 1972, blz. 220: "The indicated sum ${\textstyle \,\sum s_{n}\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }s_{n}\ =\ s_{1}{+}s_{2}{+}s_{3}{+}\ldots {+}s_{n}{+}\ldots \,}$ of an infinite sequence ${\textstyle \,\{s_{n}\}}$ is called an infinite series."
– J.R. Lee, Advanced calculus with linear analysis, 1972, blz. 22: "An infinite series is an indicated sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ =\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}\ =\ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\,}$ ."
– J.E. Weber, Mathematical analysis, 4th edition 1982, blz. 317: "a series is the indicated sum u₁+u₂+ ··· of the terms of a sequence. "
– J. Daintith, R.D. Nelson, The Penguin dictionary of mathematics, 1989, blz. 292: " series = The indicated sum of the terms of a sequence.".
– G. James, R.C. James, Mathematical dictionary, 5th edtion, 1992, blz. 357: " Series = The indicated sum of a finite or infinite sequence of terms."
– W. Kaplan, Advanced calculus; fifth edition, 2003, blz. 375: "An infinite series is an indicated sum of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ , going on to infinitely many terms."
↑ – H. Looman, Beginselen der hogere wiskunde, deel II, 2e druk 1946, blz. 18: "Onder een reeks verstaat men een onbegrensd voortgezette rij van getallen u₁, u₂, u₃, ..., die opgeteld moeten worden,".
– J.H.C. Lisman, Wiskundige propaedeuse voor econometristen, 2e druk 1963, blz. 18, 21: "Een opvolging van elementen [...] noemt men een rij. Zodra men deze gaat sommeren spreekt men van een reeks ".
– The universal encyclopedia of mathematics, 1964 (Duits 1960), blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence." Blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series."
– J. Marsden, A. Weinstein, Calculus II, 1985, sectie 12.1 blz. 561: "An infinite series is a sequence of numbers whose terms are to be added up.".
↑ – L.V. Ahlfors, Complex analysis, 1953 blz. 133 (idem 2nd ed. 1966, blz. 35): "An infinite series is a formal infinite sum"
– The universal encyclopedia of mathematics 1964 (Duits 1960), blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series." Blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence."
– R.A. Adams, Calculus, a complete course; fifth edition, 2003, blz. 527: "An infinite series, usually just called a series, is a formal sum of infinitely many terms."
– ~~Wikipedia-nl,~~ Reeks (wiskunde), Definitie: "Voor iedere rij ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som ${\textstyle \ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots }$ ."
↑ – G.E.F. Sherwood, A.E. Taylor, Calculus, 3rd edition 1954, blz. 383: "This [u₁+u₂+u₃+ ··· +u_n+ ··· ] formal expression is called an infinite series."
– J.H. Mathews, R.W. Howell, Complex analysis for mathematics and engineering; fourth edition, 2001, Chapter 4: "The formal expression ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}\,=\,z_{1}{+}z_{2}{+}\cdots {+}z_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series,"
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker: Teil 1, 2006, blz. 156: "Man nennt den formalen Ausdruck ${\textstyle \,a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \,}$ eine unendliche Reihe".
↑ – G.R. Veldkamp, Inleiding tot de analyse, 1957, blz. 259: "Een reeks is dus niets anders dan de rij van zijn partiële sommen." ["Zijn" verwijst naar het te definiëren object: cirkeldefinitie.]
↑ Bij deze omschrijving van de betekenis worden twee aspecten genegeerd: (1) het feit dat een rij altijd bestaat uit de partieelsommen van een andere rij (de verschilrij van de eerste) en er dus geen sprake is van een speciaal soort; (2) het strijdig zijn met iedere logica om de a_n' s aan te duiden als 'de termen van de nieuwe rij (s_n)', en om z'n eventuele limiet aan te duiden met 'z'n som'.
– W.J. Vollewens, Repertorium der wiskunde voor ingenieurs, deel I, 1950, blz. 195: "Is een variant [= oneindige rij] gegeven [...] dan kan met daaruit afleiden de zg. somvariant [...] Deze somvariant heet een reeks;" .
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, a modern approach to advanced calculus, 1957, (6th printing 1973) blz. 355: "A sequence {s_n} formed in this way is called a series (or an infinite series)."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 297: "Een reeks is een rij die volgens een bepaald optellingsschema uit een andere rij is afgeleid." (Dit verschilt van 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".)
– T.M. Apostol, Calculus, volume I, One-variable calculus, with an introduction to lineair algebra; second edition, 1967, blz. 384: "The sequence {s_n} of partial sums is called an infinite series, or simply a series ".
– M. Rosenlicht, Introduction to analysis, 1968, blz. 141: "If ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,}$ is a sequence of real numbers, by the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ also denoted ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ , we mean the sequence ${\textstyle \,a_{1},\,a_{1}{+}a_{2},\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\,\ldots \,}$ ."
– C.W. Burrill, J.R. Knudsen, Real variables, 1969, blz. 121: "The sequence {s_n} is called an infinite sum or infinite series or simply a series of the elements of {a_n}."
– N.P. Zwikker, J.B. Ham, Analyse 2, 1970, blz. 79: "de rij {S_n} heet dan een reeks."
– K. Endl, W. Luh, Analysis I, 1973, p.31: "Die Folge ${\textstyle \,\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ [...] nennen wir eine unendliche Reihe und bezeichne sie mit ${\textstyle \,\sum _{\nu =1}^{\infty }a_{\nu }\,}$ ."
– M. Barner, F. Flohr, Analysis I, 1974, blz.141: "Es sei ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ eine Zahlenfolge. Durch die Festsetzung ${\textstyle \,s_{n}=\,\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ wird eine Zahlenfolge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ definiert, die man als die zu ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ gehorende unendliche Reihe bezeichnet."
– H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Die unendlichen Reihe - oder kurz die Reihe - mit den Gliedern ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots \,}$ , in Zeichen ${\textstyle \ \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\ }$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ , bedeutet eine Folge, nämlich die Folge der Teilsummen ${\textstyle \,s_{n}\,:=\,a_{0}{+}a_{1}{+}\cdots a_{n}(n=0,1,2,\cdots )}$ .
– J.F. Hurley, Intermediate calculus, 1980, section 2.3: "An infinite series [...] is a sequence (s₁, s₂, ...,s_n, ...) where s₁ = a₁, s_n = a_n+s_n-1".
– O. Foster, Analysis 1, 4. Auflage 1983, blz. 23-24: "Die Folge [...] der Partialsummen heisst (unendliche) Reihe und wird mit ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ bezeichnet."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79 "Die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ist also nichts anderes als die Summenfolge ${\textstyle \,(u_{n})_{n}\,}$ der Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}}$ ."
– J.H.J. Almering, H. Bavinck, R.W. Goldbach, Analyse, 5e druk 1986 (idem 6e druk 1989), blz. 514: "Uitgaand van een rij (a_n) kan men een nieuwe rij (s_n) construeren [...]. Deze nieuwe rij noemen we de bij a_n behorende reeks (Engels: series).
– H.-G. Friedemann, Arithmetik, 1990, blz. 299: "Die Folge (s_n) der Partialsummen s₁, s₂, s₃, ..., s_n heisst die zu (a_n) gehörende Reihe.
– L. Leithold, The calculus, with analytic geometry; sixth edition, 1990, blz. 701: "If {u_n} is a sequence and . . . then the sequence {s_n} is called an infinite series."
– D. Dijkstra e.a., Dictaat analyse B (universiteit Twente), 1999, blz. 1: "De getallenrij (s_k) wordt de bij de getallenrij (a_n) behorende reeks genoemd."
– S.R. Lay, Analysis, with an introduction to proof, 2001, blz.268: "We also refer to the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ of partial sums as the infinite series (or simply the series) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ."
– O. Riemenschneider, Analysis I, 2.Aufl. 2004, blz. 13: "Außerdem kann man aus Folgen durch Addition ihrer Glieder neue Folgen bilden, die man Reihen nennt."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "series are sequences of partial sums,".
–- L. Grüne, Analysis I und II, 2012, blz. 57: "Für eine reelle Folge ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ heisst die Folge ${\textstyle \,b_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ (unendliche) Reihe."
– U. Reif c.s., Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I, II, 2015 (TU-Darmstadt), blz. 82: "Man bezeichnet die Folge (s_m)_m als die Reihe".
– E. Weitz, Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker, 2018, blz. 511: "DIE DEFINITION, die sich inzwischen allgemein durchgesetzt hat, sieht folgendermassen aus. Wenn wir eine Folge [ ] van Zahlen haben, dann bezeichnen wir die darauf basierte Folge [ ]von endlichen Summen als Reihe (engl. series) " . [Commentaar: Dus: "Onder de voorwaarde dat we een oneindige rij enen hebben, noemen we de rij van de natuurlijke getallen 'reeks'." Is dit een DEFINITIE ? Van een wiskundig begrip dat afwijkt van een oneindige getallenrij? (Ga toch knikkeren, Professor.) ]
– ~~Wikipedia-de,~~ Reihe: "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."
↑ – Fr.A. Willers, Willers Elementar-Mathematik, 12.Aufl. 1965, par. 47: "Die Summe der Glieder einer geometrische Zahlenfolge nennt man geometrische Reihe."
– E.J. Borowski, J.M. Borwein, Collins dictionary of mathematics, 1991, blz. 533: " series = the sum of a finite or infinite sequence of terms" .
– ~~Wikibooks,~~ Calculus/Definition of a Series, 2019, regel 1: "A series is the sum of the terms in a sequence."
↑ – P. Lax, S. Burstein, A. Lax, Calculus with applications and computing, volume I, 1976, blz. 21: "the infinite sum, traditionally called infinite series, "
– P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: " series = Generally, but not always, an infinite sum."
– S.I. Grossman, Calculus, second edition, 1981, blz. 628: "the infinite sum ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\ =\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series (or, simply, series)."
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Let ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ be an infinite sequence. We refer to the infinite sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ as an infinite series."
– ~~Wikipedia-en,~~ Series, Basic properties: "An infinite series or simply a series is an infinite sum, represented by an infinite expression of the form $\,a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$ "
↑ – Skolöverstyrelsen, Matematik-terminologi i skolan, 1979, blz. 115: "En serie erhålls, när elementen i en oändlig talföljd successivt adderas." (Een reeks ontstaat wanner de elementen van een oneindige getallenrij achtereenvolgens worden toegevoegd.).
– M. de Gee, Wiskunde in werking, 1995, blz. 5: "Sommeren we alle termen van een oneindige rij dan krijgen we een reeks: ".
– A. Croft, R. Davidson, Mathematics for engineers, 2004, blz. 883: "When the terms of an infinite sequence are added we obtain an infinite series."
↑ – P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: "A mathematical process which calls for an infinite number of additions."
↑ – W. Ledermann, S. Vajda, Handbook of applicable mathematics, volume IV: Analysis, 1982, blz. 13: "A series consists of a sequence (a_n) of terms from which a sequence (s_n) of partial sums is derived,".
↑ – R.S. Borden, A course in advanced calculus, 1983, blz. 300: "An infinite series, more commonly, a series is a sum of a countable number of terms."
↑ In deze betekenis wordt 'de reeks' steeds direct gevolgd door 'van' en vervolgens de aanduiding van een rij. Het opvatten van 'reeks' als de naam van een zekere afbeelding maakt het onmogelijk om een betekenis te geven aan combinaties als 'termen van een reeks', 'som van een reeks', 'convergentie van een reeks' .
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Een mogelijkheid om met behoud van het woord reeks samenhangend te spreken is: overgaan op het begrip 'reeks van een rij'. [...] Men doet er verstandiger aan de terminologie en notatie op het gebied van reeksen als 'typografische afkortingen' te beschouwen."
– E. Fisher, Intermediate real analysis, 1983, blz. 151: "If ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ is a real sequence, then the sequence ${\textstyle \,\langle S_{n}\rangle }$ , [...] is called the infinite series of terms of the sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ ."
– S. Haschler, schule 2005-06, blz. 3 'Reihen': "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."
– R. Mayer, Infinite series, 2006 (Reed College), " $\,\sum$ is actually a function that maps complex sequences to complex sequences."
– M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft), 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ een rij reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen ${\textstyle \,(s_{n})_{n\geq 0}\,}$ wordt de reeks van ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ genoemd ".
– B. Keller, Folgen und Reihen 2017 blz. 4: "Die Folge ${\textstyle (s_{n})\,}$ [...] nennen wir Reihe der Folge ${\textstyle (a_{n})\,}$ ."
– J. Leydold, Grundlagen 2017, blz. 34: "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."
↑ – O. Teller, Vademecum van de wiskunde, Prisma 1033, 13e druk 1994, blz. 32: "'Vormt men de som van alle termen [van een meetkundige rij], dan ontstaat een meetkundige reeks."
↑ – L.J. Goldstein, D.C. Lay, D.I. Schneider, N.H. Asmar, Calculus & its applications, 11th edition, 2007, blz. 569: "An infinite series is an infinite addition of numbers ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ "
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Note here that sequences and series are intimately connected, but that they represent different concepts. A sequence is always just an infinite list of numbers without any additional structure; a series always refers to an infinite addition of numbers."
↑ – P.J. Bartlett, CALifornia institute of TECHnology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "If it does [converging partial sums], we then call the limit of this sequence the series associated to ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ ,".
– M. Karow, Analyse I für Ingenieure (Folien), 2018(?), Thema: unendliche Reihen: "Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen ".
↑ – A Eickhoff-Schachtebeck, A Schöbel, Mathematik in der Biologie, 2014, p. 75: "Interessiert man sich nicht für die einzelnen Glieder a₁, a₂, a₃, ... einer Folge, sondern für deren Summe a₁+a₂+ ··· +a_n bis zum Glied n, so erhällt man eine Reihe."
↑ – ~~Wikipedia-en,~~ Series, zin 11: "a series, which is the operation of adding the a_i one after the other"
↑ – M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz.324: "simply the adding up of the infinite number of terms of a sequence."
– ~~Wikipedia-nl,~~ Reeks (wiskunde), zin 1: "Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen."
↑ – P. Levrie, Pythagoras (tijdschrift), 2014 jrg. 53 nummer 5, blz. 8: "Wat is een reeks? Een reeks in de wiskunde is een som met oneindig veel termen."
– ~~Wikibooks,~~ Einführung in die Funktionentheorie/ Folgen und Reihen, 2015: "Unter einer unendlichen Reihe versteht man – wie im Reellen – eine Summe mit unbeschränkt vielen Summanden, die nach einer bestimmten Vorschrift (Bildungsgesetz) berechnet wurden."
↑ – G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "Les 'séries' sont les suites ${\textstyle \,(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ récurrentes définié par une relation de type: ${\textstyle \,s_{0}=u_{0}\ ,\ s_{n}=s_{n{-}1}+u_{n}\,}$ ".
↑ – P. Wijdenes, Middel-algebra, deel II, 4e druk 1949, blz. 118: "Om te kennen te geven, dat we aan de partiële sommen aandacht schenken, noemen we de oneindige rij getallen een oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks " .
– D.A. Quadling, Mathematical analysis, (first published 1955) reprint 1968, blz. 85: "When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINIE SERIES. The series is denoted by the symbol ${\textstyle \,\sum u_{r}\,}$ ; no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose r-th term is u_r."
– R.E. Johnson, F.L. Kiokemeister, Calculus, with analytic geometry; fourth edition, 1969, blz. 448: "This leads to a study of the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ associated with each sequence ${\textstyle \,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots \,}$ ."
– H.J. Keisler, Elementary calculus, 1976, blz. 529; idem 2012, blz. 501: "We can go from this example to the general notion of an infinite sum. When we wish to find the sum of an infinite sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ we call it an infinite series and write it in the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ ."
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "In de wiskunde is er wel een duidelijk verschil [in betekenis tussen de woorden "rij" en "reeks" ]: wanneer we praten over een reeks, dan wordt daarmee meteen aangegeven dat we de intentie hebben om de getallen van de rij op te tellen. Laat ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n\geq 0}\,}$ een rij complexe getallen zijn. De daarbij horende reeks wordt genoteerd als . . .". (Commentaar: onvermeld blijft wat bedoeld wordt met 'de daarbij horende reeks'.)
↑ – T.J.I. Bromwich, An introduction to the theory of infinite series, 1908, blz. 15: "if the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ is convergent and has the limit ${\textstyle \,S\,}$ , the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,=\,\sum _{1}^{\infty }a_{n}\,=\,\sum a_{n}}$ , is convergent; and ${\textstyle \,S\,}$ is called the sum of the series."
– É. Goursat, Cours d'analyse mathématique I, 2e édition, 1910, blz. 9: "Étant donnée une suite infinie quelconque, dont le terme général est u_n, on dit que la série u₀+u₁+···+u_n+··· est convergente, si la suite formée par les sommes successives des termes de cette série [...] est elle-même convergente."
– K.A. Ross, Elementary analysis: the theory of calculus, 1980, blz. 68: "The infinite series ${\textstyle \,\sum _{n=m}^{\infty }a_{n}\,}$ is said to converge provided [...] ".
– D. Varberg, E.J. Purcell, S.E. Rigdon, Calculus, 8th edition 2000, blz. 436: " [...] consider the infinite series " .
↑ – P. Epstein (oorspr. Italiaans E. Pascal), Repertorium der höheren Analysis, 1. Hälfte, 2. Aufl. 1910, blz. 421: "Kapitel VI. Reihen, Produkte, Kettenbrüche."

[1] Noot: Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies

[2] Betekenisbeschrijvingen van 'reeks' in Nederlandstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'rij' :
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Eene menigte grootheden, waarvan ieder volgende naar eene zekere wet, aan alle gemeen, bepaald wordt, draagt den naam van rij of reeks, " .
– P.J. Prinsen, Anoldus Bastiaan Strabbe's Eerste beginselen van de arithmetica of rekenkunst, vierde deel, 4e druk 1832, blz. 163: "Eene oneindige reeks is een vervolg van breuken, die steeds in een bestendige orde voortgaan, ".
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 25: "Men noemt in het algemeen eene reeks eene opeenvolging van termen die volgens eene bepaalde wet van elkander afhangen, en die op eene gegevene wijze op elkander volgen."
– B.L.de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 146: "Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens zekere wetten van elkander afhangen."
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: &thinsp"Door eene reeks verstaat men in het algemeen eene rij van getallen, die volgens eene zekere wet van elkaâr afhangen."
– J. Versluys, Tijdschrift voor vormleer, rekenkunde en de beginselen der wiskunde, 1882 Jrg.4, blz. 45: "Wil men een bepaling van reeks geven, dan zou men kunnen zeggen, dat een rij van getallen een reeks is."
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 1: "Elke rij van getallen, positieve of negatieve, geheele of gebroken, meetbare of onmeetbare, die op de een of andere wijze van elkaar afhangen, kan men een reeks noemen."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 167: "Een reeks is een opvolging van getallen die aan een bepaalden wet van wording voldoen."
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige reeksen Bijvoegsel van het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde gewijd aan onderwijsbelangen, 1924/25, jrg.1 nr. 4, blz. 142-160: "een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk (d.w.z. positief geheel) getal) een grootheid toeordent."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, deel 1, 2e druk 1933, blz. 119: "Is u_n een functie van het indexgetal n, dan heet de rij getallen: u₁, u₂, u₃ ....u_n,.... een oneindig voortloopende reeks van constante getallen u_n."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, leerboek voor de acte wiskunde l.o., deel II, 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".
– O. Donker, Handleiding no. 3, analyse - reeksen, 1948, blz. 5: "Een rij is een verzameling van een oneindig aantal onsamenhangende termen. Een reeks is een verzameling van een oneindig aantal samenhangende termen. Een reeks is dus op te vatten als een geordende rij. De termen van een reeks zijn samenhangend; d.w.z. een volgende term is steeds uit een voorgaande af te leiden."
– B.Marius, A.C.Valkenaars, Algebra voor de kweekschool, 1961, blz. 87: "Een reeks is een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd is."

[3] In Nederlandse schoolboeken, tot de introductie van het woord 'rij' rond 1960, werd een oneindige getallenrij uitsluitend met 'reeks' aangeduid:
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra met vraagstukken, deel 4, 2e1907
– A. van Thijn, Leerboek der Algebra, met vraagstukken, deel 3, 2e1918
– S. Osinga, Beknopt leerboek der algebra, 1e1918
– S. Osinga, Rekenboek voor aspirant-machinisten en machinisten ter koopvaardij, 2e1919
– P. Wijdenes, D. de Lange, Leerboek der algebra, deel 3, 4e1921
– P. Wijdenes, Middelalgebra (ééndelig), 1e1921
– L. Yntema, A.J. c.s., 'Algebra voor VHMO, deel 3: 1e1926
– H.C. Derksen, Algebra /vraagstukken met theorie, deel 3, 3e1926
– C.A. van Beek, W.H.C. van Heek, Algebra /voor Onderwijzersopl. en Hoofdakte-studie, 2e1926
– J.C. van Velthoven, Overzicht der algebra/voor het eindexamen gymnasium en hbs, 1e1935
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 1e1935
– P. Wijdenes, Lagere algebra II (Vergelijkingen, Functies, Grafieken, Reeksen), 3e1935
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra /ten dienste der hbs, deel 3, 2e1936
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra IV-gymn., 1e1946
– B. Coster, A. van Dop, Algebra voor het eindexamen, 1e1950
– G.N. Meurs, S. de Vries, Algebra (serie: Op hoger plan, voor U.L.N.O…) deel 2, 5e1950
– P. Jansen, G.W. van Brink, Beknopte theorie der rekenkunde, 9e1951
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-bèta, 1e1952
– M. Dijkshoorn c.s., Leerboek der algebra voor het M&VHO, deel IV-alfa, 1e1953
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 8e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 3 4e1955
– Joh.H. Wansink, Reken-en stelkunde/leerboek der algebra voor het M en VHO, dl 2 7e1956
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Algebra voor het eindexamen, 3e1956
– P.J.G. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra voor VH&MO, deel 3, 2e1957
– C.J. Alders, G.J. Hietbrink, Algebra voor kweekscholen, 2e1958
– C.J. Alders, Algebra voor MO en VHO, deel 2, 32e-35e druk 1959
– E.J. Peusken, A.J. de Boer, Leerboek der algebra (serie B, v. V&M Nijverh.O), 3e1959
– G. Smit, Verzameling van algebraïsche vraagstukken met de theorie, deel 3, 21e1960
– C. Munk, J. Schaafsma, Algebra /bestemd voor het kweekschoolonderwijs, 1e1960, 2e1963
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der algebra, deel III, 11e1961
– G. ter Hennepe, J.W. Oostenga, Algebra /leerboek voor het ulo-onderwijs, deel 3, 1e1962
– H. Vergoossen, Algebra (UTO-reeks), deel 2, 4e1963

[4] Betekenisbeschrijvingen van 'Reihe' in Duitstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'Folge' :
– J.F. Lorenz, Die Elemente der Mathematik, erster Theil: Die reine Mathematik, 2. Aufl. 1793, blz. 55: "Eine Reihe, series, heiszt eine Menge von Gröszen [...], deren jede nach einem gewissen allen gemeinschaftlichen Gesetze bestimmt wird."
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, ca. 1800, blz. 390-395: "... man beschränkt daher in der höhern Mathematik den Ausdruck Reihe auf den Inbegriff solcher Grössen, die, insofern man jeder derselben ihre eigene Stelle anweiset, d.i. die erste, zweite, dritte Grösse u.s.f. unterscheidet, alle nach einem Princip bestimmt werden. "
– G. von Vega, Vorlesungen über die Mathematik, erster Band: Rechenkunst und Algebra, 3. Aufl. 1802 (idem: 7.Aufl. 1850), blz. 305: "Eine Folge von Gröszen, welche nach einem bekannten Gesetze wachsen, oder abnehmen, wird überhaupt eine Reihe, oder Progression, [...] genennt."
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 113: "Eine Reihe heisst eine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– J.C. Fischer, Reine Elementar-Mathematik, 1820, blz. 165: "Unter einer Reihe oder Progression (series s. progressio) versteht man eine Menge von Grössen oder Gliedern (termini), welche ingesammt von einem allgemeinen Gesetze abhangen."
– J.F. Lorenz, Grundlehren der allgemeinen Gröszenberechnung ..., ersten Theils zweyte Abtheilung, 5. Aufl. 1821, blz. 166: '" Eine Reihe, series, ist jede Folge von Gröszen [...] die alle nach einem gemeinschaftlichen Gesetze [...] bestimmt werden, ".
– G.S. Klügel, C.B. Mollweide, Mathematisches Wörterbuch, vierter Theil Q bis S, 1823, blz. 272 (abusievelijk genummerd 274): "Reihe (Series) ist erstlich eine Folge von Gröszen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze gebildet werden; zweytens eine nach irgend einem Gesetze entwickelde Folge der Theile einer Grösze, welche eine Function einer andern ist, nach deren Potenzen gewöhnlich die Glieder der Reihe fortschreiten. [...] blz. 273: Die Reihen der ersten Classe heissen oft und schicklich Progressionen."
– J. von Gott Bundschue, Lehrbuch der Arithmetik,1824, blz. 203-204: "Eine Menge von Gröszen, derer jede nach einem allgemeinen Gesetze bestimmt ist, wird eine Reihe (Series) oder eine Progression (Progressio, von progredior - fortgehen) genannt; ".
– J.A. Eytelwein, Grundlehren der hohern Analysis, erster Band, 1824, blz.76: "Wenn mehrere auf einander folgende Gröszen nach irgend einem Gesetze fortschreiten, so bilden solche eine Reihe (Series), ".
– A. von Ettingshausen, Vorlesungen über die höhere Mathematik, erster Band: Vorlesungen über die Analysis, 1827, blz. 12: "Eine Folge von Gröszen, welche hinsichtlich ihres arithmetischen Baues nach einem gemeinschaftlichen Gestetze fortschreiten, heiszt eine Reihe."
– A. Burg, Compedium der höhern Mathematik, 1836, blz. 126: "Eine nach irgend einem Gesetze gebildete Folge von Gröszen wird Reihe [...] genannt."
– D.F. Hecht, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, . . ., 3.Aufl. 1853, blz. 61: "Eine Progression oder Reihe ist jede Folge von Gröszen oder Gliedern, die alle nach einem gemeinschaftlichen Gesetze [...] bestimmt werden,".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz.2: " Reihe = jede Folge von Gröszen, welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind."
– J. Helmes, Die Elementar-Mathematik ..., erster Band, zweiter Theil, 1864, blz. 425: "Unter Reihe oder Progression überhaupt versteht man eine Folge von Zahlen, von denen jede nachfolgende aus der vorhergehenden nach einem und demselben Gesetze gebildet wird."
– C. Spitz, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, erster Theil, 1874, blz. 412: "Eine Folge von Gröszen oder Zahlen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze fortschreiten, heisst eine Reihe oder Progression."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Man nennt "Reihe" eine unbegrenzte Folge von Zahlgröszen u₀, u₁, u₂, u₃, etc..... , welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Xav. Pfeifer, Der goldene Schnitt, 1885, blz. 4: "Die mathematische Reihe ist eine Folge von gleichartigen Gröszen, welche nach einem bestimmten Gesetze fortschreitet."
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 178: "Unter einer Reihe versteht man eine unbegrenzte Folge von Zahlgröszen u₁, u₂, u₃, u₄, . . . welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Es seien u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n die aufeinander folgenden Glieder einer Reihe, so gebildet, dass jedes Glied aus dem vorhergehenden in gesetzmässiger Weise abgeleitet werden kann."
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "Eine Reihe besteht aus einer Anzahl von Gliedern, die nach demselben Gesetze gebildet sind." blz. 159:"Die Anzahl der Glieder einer Reihe kann unendlich wachsend angenommen werden. Man erhält dann eine unendliche Reihe."
– H. Weber, Encyklopädie der elementaren Algebra und Analysis, 2. Aufl. 1906, blz. 395: "Unter eine Zahlenreihe verstehen wir eine gesetzmässige Aufeinanderfolge von Zahlen irgend welcher Art: ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\,}$ und nennen diese Zahlen auch die Glieder der Reihe."
– P. Epstein (oorspr. Italiaans E. Pascal), Repertorium der höheren Analysis, 1. Hälfte, 2. Aufl. 1910, blz. 421: "Eine nach irgendeiner Vorschrift gebildete Folge von Zahlen ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ heisst eine Reihe. "
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919, idem 3. Aufl. 1921, blz. 171: "[...] ${\textstyle \,u_{1};\ u_{2};\ u_{3};\ \cdots \ }$ [...] heisst jedesmal eine unendliche Reihe ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 189: "Bildet man bei einer arithmetischen Reihe die Summen, die sich nacheinander durch Hinzunahme von immer mehr Gliedern ergeben, so entsteht eine neue Zahlenfolge oder Reihe."
– G. Kowalewski, Die klassische Probleme der Analysis des Unendlichen, 3. Aufl. 1938, blz. 1: "so findet man a, aq, aq², . . . Dies ist eine geometrische Reihe ... ."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Dabei ist nun jede komplexe Zahlenfolge (u_n)_n eine unendliche Reihe . . .".

[5] Betekenisbeschrijvingen van 'série' in Franstalige studieboeken, vóór circa 1880:
– A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, u₂, u₃, &c. ... qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée. "
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 486), blz. 520: "On appelle suité infinie, série infinie, ou simplement suite, série, une expression composée d'un nombre illimité de termes. La série est dite régulière, lorsqu'à partir d'un certain terme tous les suivants peuvent être formés d'après une même loi."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 25: "On appelle série une suite de grandeurs déterninées dont le nombre est indéfini."; blz. 437: "On appelle série une suite de termes positifs ou négatifs, dont le nombre est infini."
– Ch. Sturm, Cours d'analyse, tome I; 2me édition, 1863, blz. 40: "Une série est une suite composée d'un nombre infini de termes formés tous après une loi déterminée."
– C. Méray, Nouveau précis d'analyse infinitésimal, 1872, blz. 19: "Une série est une suite de quantités réelles ou imaginaires en nombre illimité se calculant successivement suivant une loi donnée."
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "On appelle série une suite indéfinie de quantités u₀, u₁, ··· u_n, ··· formées suivant une loi déterminée."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est une suite illimitée de nombres se succédant d'apres une loi déterminée;" .
– G. Dubois, Définition des series formelles, 2015 (of later): "Une série formelle (à coefficients dans ${\textstyle \,A\,}$ ) est tout simplement un élément de l'espace produit ${\textstyle \,A^{\mathbb {N} }}$ . Donc une série formelle est une suite ${\textstyle \,S=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ . Nous rappelons qu'une telle suite n'est rien qu'n autre nom pour une application de ${\textstyle \,\mathbb {N} \,}$ dans ${\textstyle \,A\,}$ .

[6] Betekenisbeschrijvingen van 'series' in Engelstalige studieboeken, vóór de vervanging van dat woord door 'sequence' :
– A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, [...] proceeding according to some law or determinate relation, [...] ".
– J. Wood, The elements of algebra, 12th edition 1845, blz. 232: "An infinite series is a series of terms proceeding according to some law, and continued without limit."
– W.M. Buchanan, A Technological Dictionary: explaining . . ., 1846, blz. 655: "SERIES, - 2. In analysis, a succession of terms, or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– H.L. Horton, Mathematics at work; first edition, 1949, blz. 2-23: "A series is a succession of terms whose formation is governed by the Law of the Series, each term being derived from one or more preceding terms by the provision of this law."
– A.A. Klaf, Arithmetic refresher for practical men, 1964, blz. 266: "What is a series? A succession of terms so related that each may be derived from one or more of the preceding terms in accordance with some fixed rule or order."

[7] Beschrijvingen van de wiskundige betekenis van het Latijnse 'series' :
– Groot en volledig woordenboek, 1758, blz. 324: "ONEINDIGE Ry, REEK of SCHAKELING, Infinita Series, is eene Ry van oneindige Getalen, die na een zekere Order geduurig voortgaan, zoodanig, dat men dezelven daar door duidelyk begrypen, en van alleen anderen Ryen der Getallen onderscheiden kan. "
– Paulus Mako, Compendiaria matheseos institutio, editio tertia 1771, blz. 209 Caput V, De seriebus: "Series est ordo quantitatum certa aliqua, et constanti lege excipientium. E.g. progressiones arithmeticae, et geometricae sunt series".

[8] Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ . Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ :
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})/n\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$ .

[9] (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet, (3) (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.

[10] – R.C. Buck, Advanced calculus, 1956, blz. 105: "An infinite series is often defined to be "an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }a_{n}}$ ". It is recognised that this has many defects.
– P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In het Nederlandse V.H.M.O wordt doorgaans tussen rijen en reeksen geen duidelijk onderscheid gemaakt."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The terminology introduced in this definition [a sequence is summable if the sequence of its partial sums converges] is usually replaced by less precise expressions;".
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Het taalgebruik t.a.v. reeksen is traditioneel slecht. [...] Het lukt overigens niet goed om 'reeks' als substantief op te vatten. Het is vaak een soort metaterm, zoals 'linkerlid', waarmee men spreekt over de expressies die men heeft opgeschreven."
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1 1994, blz. 284: "Men noemt de getallen ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ de termen van de reeks. (N.B. Dit zijn ook de termen van de rij ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ . De termen van de rij ${\textstyle \,\{S_{n}\}\,}$ zijn echter ${\textstyle \,S_{1},S_{2},S_{3},\ldots \,}$ ") .
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker:Teil 1, 2006, blz.156: "Eigentlich sind Reihen nichts anderes als spezielle Folgen..."
– A. van Rooij, Nieuw archief van wiskunde, 5/10 nr.1, 2009, blz. 63: "Logischerwijze is de derde term van de reeks ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ op deze manier ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}\,}$ , maar in de boeken is hij steevast ${\textstyle \,a_{3}\,}$ ."
– M. Ryan, "Calculus for dummies", 2nd edition 2014, blz. 326: "By the way, if you're getting a bit confused by the terms sequence and series and the connection between them, you're not alone. [...] The reason for getting into the somewhat confusing notion of a sequence of partial sums is that the definitions of convergence and divergence are based on the behavior of sequences, not series."
– G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "La distinction entre suite et série est donc bien mince. Les séries sont des suites particulières et toute suite peut être vue comme une série."
– J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "Sequences and series is often a difficult topic for students. It is easy to get sequences and series confused since a lot of the same terminology is used for both. A sequence is a list of numbers while an infinite series is a sum." [Commentaar: wat wordt bedoeld met 'a sum' ?]

[11] Noot: Vertalingen van 'reeks' zijn: Frans série, Engels series, Duits Reihe. En van 'rij': série, series, Folge.

[12] Vroege voorkomens van 'convergente rij':
– J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable, 1886, blz. 44: "Soit u₁, u₂, ..., u_n, ... , une suite infinie quelconque; si elle est convergente et a pour limite le nombre U, [...]".
– O. Biermann, Vorlesungen über mathematischen Näherungsmethoden, 1905, blz. 2: "Allgemein sagt man, eine Reihe [Commentaar: let op "Reihe".] von Gröszen ${\textstyle \,c_{0},c_{1},c_{2},\cdots \,}$ die nach einem bestimmten Gesetze hergestellt seien, bildet eine konvergente Zahlenfolge, wenn nach Angabe einer willkürlich kleinen . . . " .
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 23: "Die Folge (1) [ ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \,}$ ] heisst dann eine konvergente Zahlenfolge oder eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, und man setzt ${\textstyle \,A=\lim _{n=\infty }a_{n}\,}$ ."
– G. Kowalewski, Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen, 1910 (idem 2.Aufl. 1921, idem 3. Aufl. 1938), blz. 77-78: "...wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist, " .
– G. Kowalewski, Das Integral und seine geometrischen Anwendungen, 1910 (serie Forschung und Studium Heft 1), blz. 1: "Man nennt die Folge konvergent und g ihren Grenzwert. Man sagt auch, dass die Folge (oder x_n) nach g konvergiert."
– O. Perron, Irrationalzahlen, 1921 (idem: 2. Aufl. 1939), blz. 48: "Eine Folge von Zahlen heisst konvergent, wenn sie einen endlichen Grenzwert hat,".
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (gelijksoortig: 5.Aufl. 1964, blz. 64-65), blz. 60: "Ist (x_n) eine vorgelegte Zahlenfolge und steht sie zu einer bestimmten Zahl ξ in der Beziehung, dass (x_n−ξ) eine Nullfolge bildet, so sagt man, die Folge (x_n) konvergiere gegen ξ , oder sie sei konvergent mit dem Grenzwert ξ , oder sie (bzw. ihre Glieder) näherten sich dem (Grenz-) Werte ξ, sie strebten gegen ξ , hätten den Limes ξ ."
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A."
– A. Hurwitz, R. Courant, Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, 3. Aufl. 1929, blz. 8: "Eine unendliche Folge komplexer Zahlen [...] wollen wir konvergent nennen, wenn [verwijst in voetnoot naar "Knopp, Unendliche Reihen, 2. Aufl.1924]."
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 21-22: "...noemt men de getallenrij (a_n) , uitvoeriger geschreven: a₁, a₂, a₃, . . . ., a_n, . . . convergent, als er een vast eindig getal L bestaat...".
– D.N. van der Neut, Limitaties en sommaties (proefschrift), 1933, blz. 1: "Met het symbool [...] {x_n} [wordt steeds bedoeld] de oneindige rij der getallen x_n (n=0,1,2,....), onverschillig of [...] de rij convergent is."

[13] Vroege voorkomens van 'convergerende rij':
– A. Pringsheim, "pages":[54,"view":"info"} Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, zweiter Band Analysis, erster Teil], 1899, blz. 32: "Ist a irgend eine bestimmte Zahl, für welche die Folge f_n(a) konvergiert,".
– W.J. Vollewens, Repetitiedictaat analyse, 1925, blz. 32: "Is een getallenrij: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n, . . . . zoodanig gegeven, dat de waarde van a_n bekend is, als de index n gegeven wordt, dan kan het gebeuren, dat er een reëel getal A bestaat [...] de limiet van de getallenrij a_n [...] Men zegt dan dat de getallenrij convergent is of ook, dat ze voor n oneindig convergeert tot of naar A.".
– M. Scheffer, Aanteekeningen over limieten, 1932 (artikel in Mathematica, jrg. 1), blz. 25: "Als de rij zelve convergeert, is ook de rij van de moduli der termen convergent; ".

[14] – A-L. Cauchy, Cours d'Analyse (I-re partie, Analyse algébrique), 1821 blz. 123: "Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s_n s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série."
– A-L. Cauchy, Résumé des leçons ... sur le calcul infinitésimale, tome premier, 1823, blz. 145: [gelijk aan Cauchy 1821].
– A-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différentiel, 1829, blz. 10: [gelijk aan Cauchy 1821].
– L.-E. Lefebure de Fourcy, Leçons d'algèbre, deuxième éd. 1835 (idem 7ième 1862 blz. 487), blz. 520: "Les series qui remplissent cette condition sont appelées convergentes."
– W. Smaasen, Gronden der hoogere algebra, 2e druk 1855, blz. 27: "men noemt daarom eene oneindige reeks van termen wier som tot eenen bepaalden limiet nadert convergent."
– Ch. Briot, Leçons d'algèbre, deuxième partie, 2ième éd. 1856, blz. 30: "On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent les unes des autres, suivant une loi déterminée. [...] Lorsque la somme des termes de la série tend vers une limite finie et déterminée, on dit que la série est convergente."
– M. Duhamel, Éléments de calcul infinitésimal, 2me éd. tome premier 1860, blz. 437: "On dit qu'une série est convergente, lorsque la somme des n premiers termes tend vers une limite déterminée".
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– G.A. Vorsterman van Oijen, Theorie der algebra, eerste deel, 1868, blz. 269: "Indien bij het toenemen van het aantal termen hunne som een bepaald getal nadert, dan noemt men de reeks convergent."
– J.K. Becker, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, zweiter Buch, 1877, blz. 133: "Man nennt eine solche Reihe mit endlicher Summe eine convergente Reihe."
– C. Itzigsohn, Algebraische Analysis, (vertaling van Cauchy 1821) 1885, blz. 85: "Wenn alsdann für stets zunehmende Werte von n die Summe s_n sich einer gewissen Grenze s beliebig nähert, so werden wir die Reihe convergent nennen,"
– J.G. Hagen, Arithmetische uns Algebraïsche analyse, 1891, blz. 70: "Eine unendliche (einfache oder vielfache) Reihe heisst convergent, wenn sich die Summe ihrer Glieder mit wachsender Anzahl einem bestimmten Grenzwerthe nähert,".
– Ph. Gilbert, Cours d’analyse infinitésimale, Partie élémentaire, 4me éd. 1892, blz. 26: "Si, pour une valeur indéfiniment croissant de n, la somme s_n tend vers une limite finie et déterminée s, la série est dite convergente;"
– A. Mikuta, Höheren Mathematik, II.Band, 1898, blz. 179: "Ist die Summe einer Reihe [...] eine endliche Zahl, so nennt man die Reihe convergent,"
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– H.A. Derksen, G.L.N.H. de Laive, Leerboek der algebra, vierde deel, 1899 (idem: 2e druk 1907), blz. 95: "Een rij van getallen noemt men een reeks, als elk der getallen, bij een bepaald getal te beginnen, volgens een vaste wet uit één of meer voorgaande kan afgeleid worden." Blz. 99: "Wanneer de som van n termen eener reeks bij het onbepaald grooter worden van n nadert tot een limiet, dan noemt men de reeks convergent."
– Fr. Autenheimer (bearb. A. Donadt), Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. Aufl. 1901, par. 59: "Wenn [...] lim_n→∞ s_n = s ist, so heisst die Reihe (u₀, u₁, u₂, u₃, ... u_n) konvergent und s ihre Summe."
– M. Godefroy, Théorie élémentaire des séries, 1903, blz. 25: "Une série est convergente si la somme de ses n premier termes S_n tend vers une limite S,"
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 160: "Eine unendliche Reihe, die eine endliche Summe hat, heisst konvergent;"
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. Krediet, Rekenkunde, 1915, blz. 169: "Indien nu, voor lim n = ∞, de waarde van S_n nadert tot een bepaalde limiet S, zoo noemt men de oneindig voortlopende reeks convergent en heet S hare som."
– H. Von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (1. Aufl. 1912) 2. Aufl. 1919 blz. 174: "Eine uneindliche Reihe mit konstanten Gliedern heisst konvergent, wenne die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positiven Zahl n einem Grenzwert zustrebt,"
– Hk. de Vries, Leerboek der differentiaalrekening en integraalrekening ..., deel 1, 1e dr. 1919, blz. 274-275: "Nadert de som der eerste n termen eener oneindige reeks bij steeds aangroeiende n tot een bepaalde, eindige limietwaarde, dan noemt men de reeks convergent; ".
– E. Götting, A. Harnack, Lehrbuch der Mathematik mit Aufgaben, Ausgabe A, Oberstufe Teil I, 4. Auflage 1928, blz. 187: "Unter einer mathematischen Reihe versteht man eine geordnete Folge von Zahlen, von denen jede aus der vorausgehenden nach einem bestimmten Gesetz sich ergibt." Blz. 197: "Eine unendliche Reihe, die in diesem Sinne eine endliche bestimmte Summe hat, heisst konvergent, "
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– R.H. Rooda, Analyse, I Differentiaalrekening, 1930 (?), blz. 91: "Een reeks is een rij van getallen of functies, welke volgens een bepaalde wet uit elkander kunnen worden afgeleid." Blz. 91: "Een reeks heet convergent, indien de som der eerste n termen nadert tot een standvastige, eindige grenswaarde, ".
– W.F. de Groot, C. de Jong, Leerboek der algebra, derde deel, 1931 (idem: 2e druk 1936, 3e druk 1939), blz. 100: "Een rij van getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks; Blz. 108: " Een reeks, waarbij ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat, heet convergent."
– P. Wijdenes, Nieuwe School-algebra, deel III, 2e druk 1928, blz.96 en 113 (idem deel II, 12e druk 1942, blz. 160 en 183): "Een rij van getallen, die volgens een bepaalde wet gevormd worden, heet een reeks; [...] Men zegt, dat de meetkundige reeks voor ${\textstyle |r|<1}$ convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }S_{n}\,}$ bestaat."
– Ph. Kohnstamm, Keur uit het didactisch werk van prof. dr Ph. Kohnstamm, 1935 (Rede ter opening van de lessen van het Nutsseminarium), blz. 367: "Een convergente reeks is een rij van getallen zo gebouwd, dat haar som, [...] van een bepaalde grens afligt."
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Algebra III-H voor m.o., 3e druk 1951, blz. 76: "Een reeks is een rij getallen." Blz. 91: "Een oneindig voortlopende reeks, die een som heeft, heet convergent;" .
– Joh.H. Wansink, "Reken- en stelkunde – leerboek der algebra", 1956 dl.2, 7e druk, blz. 177: "Onder een reeks verstaat men elke getallenrij, volgens een bepaald voorschrift gevormd." Blz. 189: "Reeksen, waarvoor lim_n→∞S_n bestaat, noemen we convergente reeksen; ".
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 2e druk 1957, blz. 66: "Een rij getallen wordt ook wel een reeks genoemd." Blz.85: "Een oneindig voortlopende reeks heet convergent, als hij een som heeft, ".
– C.W. Wolfswinkel, J. Vermeer, De exacte vakken op het eindexamen H.B.S.-B, 1957 dl.1A, blz. 53: "Een reeks is een rij van getallen, die alle volgens een bepaald voorschrift worden afgeleid ". Blz. 53: "Als lim_n→∞S_n bestaat en eindig is, dan heet de reeks convergent, ".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 7e druk 1958, blz.307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks;" Blz. 323-324: "Men zegt, dat de meetkundige reeks voor |r|<1 convergent is, waarmee bedoeld wordt, dat lim_n→∞ S_n bestaat."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."

[15] – J.G.C. Kiesewetter, Fortsetzung der Anfangsgründe der reinen Mathematik, 1818, blz. 24: "Eine Reihe, bei deren Fortschritt man sich immer mehr ihrem Gesammtwerthe nähert, heisst konvergirend; ".
– L.C. Schulz von Strassnitzki, Arithmetik, 2. Aufl. 1848, blz. 498: "Dieses Nähern der Summe der Glieder einer Reihe, je mehr als man Glieder nimmt, nennet man das Convergiren der Reihe, und je rascher die Annäherung gehet, desto convergirender nennt man die Reihe."
- B.L. de Vries, Algebraïsche cursus, tweede deel, 1859, blz. 199: "Eene reeks convergeert wanneer de som van hare termen voor eene limiet vatbaar is."
– Pierer's Universal-Lexikon', 14. Band, 1862, blz. 2-3: "Ist eine unendliche Reihe so beschaffen, dass, je mehr Glieder derselben in ein einziges Ganzes vereinigt werden, der so erhaltene Ausdruck sich einem bestimmten Werthe ohne Ende immer mehr nähert, so nennt man diesen Werthe die Summe der Reihe und diese Reihe selbst eine convergente (convergirende); " .
– A.E. Rahusen, Lobatto's lessen over de hoogere algebra, 5e druk 1899 (idem: 8e druk 1916), blz. 334: "Onder eene reeks wordt in het algemeen verstaan eene rij getallen u₁, u₂, u₃, u₄, enz., die op eene bepeelde wijze uit elkaar afgeleid kunnen worden." Blz. 335: "Als vooreerst, bij het grooter worden van n, S_n onbepaald nadert tot eene eindige grenswaarde S, dan wordt de reeks convergeerend of convergent genoemd ".
– J.J. van Laar, Lessen over de lagere algebra, tweede deel, 1904, blz. 34: " . . . terwijl reeksen, waabij S_n tot een eindige grenswaarde nadert, convergente of convergeerende reeksen heeten."
– C. van Aller, Leerboek der hoogere stelkunde, 2e druk 1914, blz. 201: "Een reeks heet convergeerend, indien de som van de eerste n termen nadert tot een standvastige grens,".
– W.J. Heijdeman, Wiskundige hoofdstukken, 4e druk 1924, blz. 112: "Indien [...] dan vormen deze functiewaarden een rij van getallen, die op een bepaalde wijze van elkaar afhangen en reeks wordt genoemd." Blz. 117-118: "Het kan nu voorkomen [...] dat de som van die oneindig vele termen nadert tot een bepaalde grenswaarde, welke de som der reeks wordt genoemd. In dat geval noemt men de reeks convergeerend of convergent."
– Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol, Leerboek der Algebra, deel III, 2e druk 1940 (idem: 8e druk 1955, 10e druk 1959), blz. 107: "Een rij van getallen, waarvan ieder getal volgens een gegeven voorschrift gevormd wordt, heet een reeks." Blz. 116: "Een oneindig voortlopende reeks, die een somlimiet heeft, noemt men convergent. De reeks convergeert."
– S.T.M. Ackermans, J.H. van Lint, Algebra en analyse, 1970, blz. 222: "We zullen spreken van "de reeks ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots }$ " of "de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ". Als lim_n→∞ s_n bestaat (noem de limiet s) dan zeggen we dat de reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ convergeert en we noemen s de som van de reeks."

[16] – P.J.G. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 188: "sommeerbare rij (voor: oneindige rij, waarvan de getallen een som hebben)".
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 282: "een sommeerbare rij, d.w.z. lim_n→∞ s_k bestaat, "
– Wimecos-commissie (C.J. Alders c.s.), Ontwerp leerplan-wiskunde voor h.a.v.o., 1e druk 1966 (idem 3e druk 1969), blz. 12: "3.3 Klassen 4 en 5 [...] Sommeerbare meetkundige rijen."
– M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 389: "The sequence {a_n} is summable if the sequence {s_n} converges. In this case lim_n→∞s_n is called the sum of the sequence {a_n}. Ook: absolutely summable, Cesaro summable, Abel summable, uniformly summable."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 5e druk 1967, blz. 90: "Als [...] dan heet de rij sommeerbaar. "
– P.G.J. Vredenduin, A. van Haselen, Nieuwe algebra III voor v.h. en m.o., 9e druk 1968, blz. 88: "Onder de som van een oneindige rij verstaan we ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ . Een oneindige rij heet sommeerbaar, als hij een som heeft."
– P.E. Lepoeter, Gids voor de algebra van de B-afdelingen van het v.h.m.o., 3e druk 1968, blz. 134: "Een oneindige rij heet sommeerbaar als lim_n→∞ s_k bestaat; " .
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 57: "Sommeerbare rijen ".
– B. Meulenbeld, A.W. Grootendorst, Analyse 1, 6e druk 1974 (idem 8e druk 1985), blz. 276: "Zij zeggen dan, indien lim_n→∞ S_n bestaat, [...] dat de rij {u_n} [...] sommeerbaar is."
– A. van Rooij, Analyse voor beginners, 2e druk 1989, blz. 71: "Stel nu eens dat deze rij s₁, s₂, ... een limiet heeft. Dan noemen we die limiet de som van de rij x₁, x₂, ..., en de rij x₁, x₂, ... heet sommeerbaar. "
– B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1996, blz. 177-179: "Een oneindige som is een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}t_{4}{+}\cdots \,}$ , waarbij ${\textstyle \,t_{1},t_{2},t_{3},t_{4},\ldots \,}$ de termen van een rij zijn. [...] We noemen de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ sommeerbaar, als de rij van partiële sommen ${\textstyle \,(S_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , voortgebracht door de rij ${\textstyle \,(t_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ , convergeert."
– Profi-team (Freudenthal-instituut), Trajectenboek Wiskunde N&G en N&T vwo, 1998, blz. 54: "Een rij heet sommeerbaar als de bijbehorende somrij (d.i. de rij van partiële sommem) een eindige limiet heeft."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 42: "De rij (a_n) heet in dit geval sommeerbaar."
– C.S. Kubrusly, Elements of operator theory, 2001, blz. 201: "If the sequence of partial sums {y_n} converges [...] then we say that {x_n} is a summable sequence" . "If the real-valued sequence {||x_n||} is summable, then we say that {x_n} is an absolutely summable sequence ".
– F. Spijkers, Wiskunde-web, versie: oktober 2002, "Als de somrij van t_n convergeert, dan noem je die rij sommeerbaar. "
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "A complex sequence ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is summable if and only if the series ${\textstyle \,\sum \{a_{n}\}\,}$ is convergent."
– A.C.M. van Rooij, Nieuw archief voor wiskunde 5/10 nr. 1, 2009, blz.62 regel 37-39: "In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde. Een bonus is dat je het woord 'convergent' niet in twee betekenissen gebruikt."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "A sequence x₁, x₂, . . . of real numbers is summable if and only if the corresponding sequence of partial sums is a Cauchy sequence,".
– P.J. Bartlett, California Institute of Technology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "A sequence is called summable if the sequence of partial sums converges."
– gree, digiSchool-Mathématiques, Forum, 2015: "Soit ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,}$ une suite sommable de nombres complexes."
– K.P. Hart, Pythagoras (tijdschrift), 2014 nummer 6, blz. 24: "Een rij waaraan op deze manier een som is toe te kennen heet sommeerbaar."
– O. Riesen, Dokumente für den Unterricht, website 2019, sectie Zahlenfolge / 3. Teilsummen, Reihen / Skript / 3.3 Allgemeine Teilsummen von Folgen / 1) c): "Eine (beliebige) Folge (a_n) heisst summierbar, wenn der Grenzwert der Teilsummenfolge (s_n) existiert.

[17] Ook al in de 19e eeuw kwam "die Reihe sey summirbar" voor naast "die Reihe convergire" (de partieelsommen benaderen een eindige grens):
– A. von Ettingshausen, Vorlesungen über die höhere Mathematik, erster Band: Vorlesungen über die Analysis , 1827, blz. 16: "Man sagt in diesem Falle, die unendliche Reihe ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\&}$ c. sey summirbar, oder sie convergire, ".
– J. Salomon, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 2. Aufl. 1831 (idem 6. Aufl. 1859 blz. 442), blz. 549: "Eine Reihe welche [...], heisst eine summirbare Reihe, oder man sagt, die Reihe convergire, oder sey convergent, ".
– J. Salomon, "Lehrbuch der Elementar-Mathematik für Ober-Realschulen, erster Band: Die Elemente der Algebra, 1853 (idem 3.Aufl. 1865), blz. 312: "Eine Reihe, welche [...], heisst eine summierbare Reihe, oder man sagt, die Reihe convergire, oder sei convergent, ".
– A. Burg, Compendium der höhern Mathematik, 1836, blz. 127: "so sagt man die Reihe convergire oder sey summirbar; ".
– G.G. von Hembyze, Lehrbuch der algebraischen und geometrischen Analysis, 1857, blz. 30: "Man theilt demnach in dieser Beziehung die unendlichen Reihen in summirbare oder convergirende, und in nicht summirbare oder divergirende ein, ".
– J. Helmes, Die Elementar-Mathematik..., Erster Band: Die Arithmetik und Algebra Zweiter Theil, 1864, blz. 446: "Wenn sich die Summe einer solchen [unendliche] reihe [...] einer bestimmten Grenze nähert [...], so nennt man die Reihe eine convergirende oder eine summirbare, ".

[18] – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 98: "Sogenannte Summierbarkeit von Reihen. Als eine direkte Verallgemeinerung des Begriffes Konvergenz einer unendlichen Reihe hat man in der neuesten Zeit den Begriff Summierbarkeit einer Reihe eingeführt. [...] so heisst die uneindliche Reihe summierbar mit der Mittelsumme S."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946, blz. 7: "De redenen, welke wiskundigen er toe gebracht hebben naast het begrip der convergentie dat der sommeerbaarheid te stellen, zijn veelvuldig en gegrond."

[19] Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.

[20] – A. Rees, Cyclopaedia; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literaure, vol. XXXII, 1819, lemma 'series' blz. 59: "SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, connected together by the signs plus ans minus, and proceeding according to some law or determinate relation."
– W. Hamilton, A Hand-book: Or, Concise Dictionary of Terms Used in the Arts and Sciences, 1825, blz. 362: "SERIES. In Analysis a succession of terms or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, proceeding according to some law or determinate relation, as 3, 5, 7, 9, &c. " (Commentaar: waarom geen plus- en mintekens in het voorbeeld?)
– M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige Reeksen, 1925, artikel in Euclides jrg. 1 nr. 4 pp.142-160. blz. 143: "Wat is een oneindige reeks? De tegenwoordige wiskunde beantwoordt deze vraag aldus: een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk getal een grootheid toeordent." Blz. 146: "Al naar nu bij het onderzoek van een oneindige reeks het voornaamste doel is het bedrag van de opeenvolgende termen te leeren kennen, dan wel in hoofdzaak het bestaan van een som ons interesseert, spreekt men van fundamentaalreeks en van somreeks. Bij de laatste verbindt men de termen door + teekens."
– A. Borgers, Bijdrage tot de arithmetische theorie van Cesàro's sommatiemethode, 1946 (artikel), blz. 22: "De getallen van iedere rij vormen een convergente reeks, wanneer men er plus teekens tusschen plaatst en de volgorde niet wijzigt ".
- P.G.J. Vredenduin (Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35, 1959, blz. 57: "In de mathematische literatuur wordt onderscheid gemaakt tussen rijen en reeksen: ${\textstyle \ t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\ldots \ }$ is een rij, ${\textstyle \ \ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\ldots \ }$ is een reeks. "
– W. Maak, An introduction to modern calculus, (Duits 1960) 1963, blz. 40: "We have an infinite series if, between each two terms of an infinite sequence [...] we insert a plus sign: "
– L. Bers, Calculus, 1969, par. 4.1: "An infinite series is a sequence of numbers with plus signs between these numbers."
– M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz. 322: "Change the commas to addition signs and you've got a series;".

[21] Noot: Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.

[22] Oude voorkomens van het sommatie-teken:
– J. Liouville, Sur la sommation d'une série, 1837 (Journal de Liouville, Série 1, tome 2), blz. 107: "En représentant par ${\textstyle \,X_{0}+X_{1}z+etc.\,}$ ou par ${\textstyle \,\sum X_{n}z^{n}\,}$ le développement de ${\textstyle \,(1-2xz+z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,}$ , " .
– J. Bertrand, Règles sur la convergence des séries, 1842 (Journal de Liouville, tome septième), blz. 39 "donc la série ${\textstyle \,\sum u_{n}\,}$ a tous ses termes plus Petits que ceux de la série convergente ${\textstyle \,\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}\,}$ ".

[23] – M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (idem: 4th ed. 2008 blz. 472), blz. 397: "In more formal language, the sequence {a_n} is absolutely summable if the sequence {|a_n|} is summable."
– H. König, Analyse 1, 1984, blz. 94: "Eine komplexe Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}\,}$ ist dann und nur dann absolut summierbar, wenn die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ absolut konvergent ist."
– R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente), 2000, blz. 43: "We noemen de rij (a_k) absoluut sommeerbaar indien de rij der absolute waarden (|a_k|) sommeerbaar is. "

[24] – J.W. Wilson, C. Foy (Univ. of Georgia), Limit and Sum of a Series, 2013, EMAT6500 blz. 1: "examples to demonstrate the difference between the limit and the sum of a series."
– Mathematics Support Centre (Maynooth Univ. Ierland), Handout, 2019(?): "Limit of a Series. [...] its limit, that is ${\textstyle \,\lim _{k\to \infty }s_{k}\,}$ ."
– wikiHow, How to determine convergence of infinite series, 2019(?): "If the limit of a series is 0, that does not necessarily mean that the series converges."

[25] Wél kwam voor: het 'naar een limietwaarde streven' of 'naar een limietwaarde convergeren' van een expressie met een discrete variabele n, of van 'de som van de eerste n termen'.
– A.-L. Cauchy, Leçons sur le calcul différential, 1829, blz. 91: "Or la somme de ses n premiers termes [...] convergera [...] ou cessera de converger [...]". Blz. 96: "Si, pour des valeurs croissantes de n, le rapport ${\textstyle \,{\frac {\rho _{n+1}}{\rho _{n}}}\,}$ converge vers une limite fixe ".

[26] – J. Harris, Lexicon technicum, or, An universal English dictionary of arts and sciences : explaining not only the terms of art, but the arts themselves, 1708, blz. 717: "SERIES, properly speaking, is an orderly Process or continuation of things one after another. 'Tis commonly in Algebra connected with the Word Infinite, and there, by Infinite Series, is meant certain Progressions, or Ranks of Quantities orderly proceeding, which make continual Approaches to, and if infinitely continued, would become equal to what is inquired after."
– E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences; volume the second, 1728 (idem 6th edition 1750), blz. 59: "SERIES, in Algebra, a Rank or Progression of Quantities, increasing or decreasing in some constant Ratio, which, in its Progress, approaching still nearer and nearer some sought Value, is called a Converging Series, and if infinitely continued, becomes equal to that Quantity; whence its usual Appellation of Infinite Series: Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."
– D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1765, volume XV blz. 93: "SERIE ou SUITE, en Algebre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantité, qui croissent, ou décroissent suivant quelque loi : Lorsque la suite ou la série va toujours en approchant de plus en plus de quelque quantité fini , & que par conséquent les termes de cette série, ou les quantités dont elle est composée, vont toujours en diminuant, on l'appelle une suite convergente, & si on la continue à l'infini, elle devient enfin égale à cette quantité. Ainsi 1, ½, ¼, ⅛, &c. est une série convergente."

[27] – A.-L. Cauchy, Cours d'analyse, 1821, blz. 124: "[...] pour que la série ${\textstyle \,u_{0},u_{1},u_{2}\ldots u_{n},u_{n{+}1},\,\&\mathrm {c} .\,\ldots \,}$ soit convergente, il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme ${\textstyle \,s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\,\&\mathrm {c} .\,\ldots {+}u_{n-1}\,}$ vers une limite fixe s ".
Kennelijk gaat het bij de keuze tussen komma's en plustekens niet om een inhoudelijk verschil maar om de voorkeur van de auteur. Want waar N.H. Abel (in Untersuchungen über die Reihe ... 1826) A.-L. Cauchy (Cours d'analyse 1821) citeert, veranderen de komma's in bovenstaande reeks-notatie in plustekens: ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ ; zie "pages":[328,"panX":0.406,"panY":0.972,"view":"info","zoom":0.917} Crelle's Journal, voetnoot op blz. 316].
– M. Ohm, Versuch eines vollkommen consequenten Systems der Mathematik, zweiter Theil, 1829, blz. 1: "Eine Reihe von Ausdrücken von der Form ${\textstyle \,a,\,a+d,\,a+2d,\,a+3d,\,a+4d,\,\mathrm {etc.etc.} \,[...]\,}$ ,".
– R. Henke, R. Heger, Schloemilchs Handbuch der Mathematik, erster Band, 2.Auflage 1904, blz. 154: "So sind ${\textstyle \,a,2a,3a,4a,5a,\ldots \,;\quad 1,2x,3x^{2},4x^{3},\ldots \,}$ Reihen," .
– J.M. Reichert, Analyse, vraagstukken met beknopte aanduiding der theorie ..., 1945 (of 1946), blz. 31: "Ga na of de reeks: ${\textstyle \,x\,\mathrm {sin} \,x,\,x^{2}\,\mathrm {sin} \,2x,\,x^{3}\,\mathrm {sin} \,3x\ldots \,}$ convergent of divergent is voor x = [...] (T.H. 1928). (Commentaar: in de beschrijving van de oplossing zijn de komma's vervangen door plus- en mintekens.)

[28] – E. Chambers, CYCLOPAEDIA, or, An universal dictionary of arts and sciences, 1728 (idem 6th edition 1750), bij trefwoord 'Series': "Thus ${\textstyle \,{\tfrac {1}{2}}\ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{16}}{\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{64}}\ }$ &c. make a Series, which Always converges, or approaches, to the Value of 1, and infinitely continued, becomes equal thereto."

[29] – D. Diderot, J. d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1754, volume IV blz. 165: "CONVERGENT, adj. en algebre, se dit d'une série, lorsque ses termes vont toûjours en diminuant. Ainsi 1, ½, ¼, ⅛, &c. est une série convergente."
– G.S. Klügel, Mathematisches Wörterbuch, erster Theil A bis D, 1803, blz. 555: "Eine Reihe ist convergirend, wenn ihre Glieder in ihrer Folge nach einander immerfort kleiner werden."
– J. Nieuwenhuis, Wiskundig leerboek, 1805, blz. 36: "Zamenloopende of convergerende reeksen zijn dezulke, welker opeenvolgende leden gedurig in waarde afnemen. "
– J.F. Raupach, Die Elemente der Algebra und Analysis, 1815, blz. 120: "Nur konvergirende, das ist, abnehmende Reihen können Grenzen (ihrer Summen) haben, weil ihr sogenanntes letztes Glied verschwindet; ".
– C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Ich werde unter Convergenz, einer unendlichen Reihe schlechthin beigelegt, nichts anderes verstehen, als die beim unendlichen Fortschreiten der Reihe eintretende unendliche Annäherung ihrer Glieder an die 0. "
– De 'nulrij'-betekenis van "convergente Reihe" wordt ca. 1914 verouderd genoemd. In een voetnoot op blz. 833 van deel II-1.2 van de Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften zegt H. Burkhardt: Das Wort Konvergenz gebraucht übrigens Gauss bekanntlich noch im alten Sinne, in dem es sich nur auf die unbegrenzte Abnahme der Reihenglieder, nicht auf die Existenz eines Grenzwertes für die Reihensumme bezog."
– J.V. Grabiner, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, 1981, blz. 99: "In eighteenth-century work on series, sometimes a series is said to converge in the way that the hyperbola "converges" to its asymptote, that is, when its n^th term goes to zero;".

[30] – C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe".

[31] – J.-J. de Marguerie, "Mémoires de l'académie royale de marine, tome premier; Mémoire sur les suites, 1773, blz. 142-240: "Les suites sont une des plus grandes parties de calcul; la plus importante opération que l'on fasse sur elles, est de les sommer: mais de toutes les suites qui se rencontrent en cherchant à résoudre un problème, le nombre des suites exactement sommables est si petit, que les Géomètres ont tourné toute leur attention vers les suites insommables." [Commentaar: opvallend is het gebruik van 'suite' en niet 'série'.]
– A. Rees, The CYCLOPAEDIA; or, Universal dictionary of arts, sciences, and literature, vol. XXXII, 1819, lemma 'Series' vijfde tekstkolom: "[...] that James [Bernoulli], having turned his attention to the doctrine of series, had discovered a few which were summable, and which he proposed to his brother;".
– G.S. Klügel, C.B. Mollweide, Mathematisches Wörterbuch, vierter Theil, 1823, blz. 560: "Summierbare Reihe ist, deren Summe durch einen endlichen Ausdruck sich angeben lässt."
– J. de Gelder, Beginselen der differentiaal-, integraal- en variatie-rekening, tweede deel, 1850 (bewerkt door Verdam), blz. 390: "Eene oneindig voortloopende reeks wordt gezegd sommeerbaar te zijn, wanneer de som van al derzelver termen in eene bepaalde stelkundige of transcendentale functie der veranderlijke grootheid, van welke de termen der reeks afhangen, volkomen en naauwkeurig wordt voorgesteld."
– D. Bierens de Haan, 'De Gids' boekbespreking: J. de Gelder, D&I-rekening deel 2, 1850, jrg.14 blz. 650: "Latere wiskundigen (onder anderen Prof. Schlömilch) noemen het voorstellen eener oneindige reeks onder den vorm van eene bepaalde integraal, dat is, van eene geslotene uitdrukking, het sommeren derzelve [...] kan dan zulk eene integraal door eene stelkundige of transcendentale functie worden voorgesteld - iets dat niet altijd het geval is - zoo is de reeks gesommeerd volgens de vroegere, minder algemeene bepaling."
– J. Knar, Archiv der Mathematik und Physik ..., artikel: Die harmonische Reihen, 1864, blz. 399 Vier gradaties van 'sommeerbaarheid':
"1. überhaupt analytisch summirbar, oder
2. analytisch summirbar, jedoch mit Ausschluss aller Kreis- oder der gleichgeltenden Exponential-Funktionen, ferner
3. analytisch summierbar, mit Ausschluss der logarithmen, endlich
4. algebraisch summirbar ".
– N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 86: "Solche Reihen, deren Summe in geschlossener Form dargestellt werden konnte, wurden in früheren Zeiten "summierbar" genannt; dieser Begriff ist aber wohl von dem modernen Begriffe der Summierbarkeit einer Reihe [Cesàro-sommeerbaarheid] zu unterscheiden."
– M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of mathematical functions, 1965, Dover edition blz. 1005, sectie 27.8.6: Onder sectie-hoofdje Summable Series, gesloten vormen voor de som van een zestal rijen.
– A.D. Wheelon, Tables of summable series and integrals involving Bessel functions, 1968, blz. 3: "A surprisingly number of infinite series can be summed in closed form, just as many integrals can be done analytically."

[32] – J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable I, 2ième éd. 1904, blz. 114: "on désigne sous le nom de série un symbole tel que $\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,$ " [Commentaar: In de 1ière édition 1886, blz.45 is nog géén sprake van 'un symbole'; wél, in één zin: "la suite infinie ${\textstyle \,s_{1},s_{2},...,s_{n},...,\,}$ est convergente", voorafgegaan door het definiërende: "La série ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ , est dite convergente,".]
– E. Cesàro, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung, 1904, blz. 118: "Eine der wichtigste Anwendungen der Theorie der Grenzwerte besteht darin, zu untersuchen, welche Bedeutung einem Aggregat von unendlich vielen Zahlen ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots \,}$ beigelegt werden muss, und ob auf ein solches Aggregat, welches man als eine Reihe bezeichnet, immer die Eigenschaften die aus einer endlichen Anzahl von Teilen zusammengesetzten Summen anwendbar sind."
– K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 1. Aufl. 1922 (idem: 5.Aufl. 1964, blz. 100) blz. 93-94: " Unendlichen Reihen. Das sind Zahlenfolgen, die auf folgende Art gegeben werden. [...] Man gebraucht fur diese Folge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ die Symbolik $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,$ oder kürzer $\,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,$ oder noch kürzer und prägnanter ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ und nennt dies neue Symbol eine unendliche Reihe;" . [Commentaar: dezelfde naam voor een rij en voor een symbool !]
– F. Schuh, Lessen over de hoogere algebra III 1926, blz. 181: "De uitdrukking u₁+u₂+u₃+ ··· of ${\textstyle \,\sum _{1}^{\infty }u_{n}\,}$ wordt een oneindige reeks (ook wel oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks) genoemd."
– TEGENSTEM: Door E.J. Dijksterhuis wordt de tekst van Schuh over 'reeksen' in alle opzichten volledig afgekraakt in een boek-recensie in het BIJVOEGSEL van het NTvW, 3e jrg. 1926/27 nr. 3-4, blz. 98 vanaf 'Intusschen ...'.
– P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Men noemt deze uitdrukkingen [ ${\textstyle u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots {+}u_{n}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ ] oneindig voortlopende reeksen, of kortweg reeksen."
– W.K. Morrill, Calculus, 1956, section 15.2: "If ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\cdots ,u_{n},\cdots \,}$ is a given neverending sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– H. von Mangoldt, K. Knopp, Einführung in die höhere Mathematik, Zweiter Band (vanaf 6. Aufl. 1932 ingrijpend bewerkt door Konrad Knopp), 11. Aufl. 1958 blz. 196: "Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ " .
– L.J. Adams, P.A. White, Analytic geometry and calculus, 1961, blz. 566: ". . .the expression ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series."
– J.R. Britton, R.B. Kriegh, L.W. Rutland, Calculus and Analytic Geometry 1963, blz. 835: "An expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\ldots \,=\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ is called an infinite series" .
– L. Kuipers, Handboek der wiskunde, 1963 (idem 2e druk 1966), blz. 220: "Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}u_{4}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ heet een (oneindige) reeks."
– E. Hille, Analysis, volume I, 1964, blz. 276: "With the sequence ${\textstyle \,\{u_{n}\}\,}$ we define the series ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ , which is usually written ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}\,}$ . This symbol ..." .
– W. Rudin, Principles of mathematical analysis 1964, blz. 51: "The symbol ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ we call an infinite series, or just a series".
– F. Bowman, F.A. Gerard, Higher calculus 1967, blz. 98: "An expression of the form ${\textstyle \ u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series" .
– F. van der Blij, J. van Tiel, Infinitesimaalrekening, 1969, blz. 213: "De uitdrukking ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ , ook wel geschreven als ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ , noemen we een reeks; ".
– Sze-Tsen Hu, Calculus 1970, blz. 614: "For any sequence ${\textstyle \,u:N\to R\,}$ , the expression ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is known as the (infinite) series with ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ as terms.
– The Open University, U.K., Sequences and limits II 1971, blz. 38: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ " .
– J.H.J. Almering c.s., Analyse, 2e druk 1977 (idem 1e druk 1974), blz. 216: "De aldus gevormde rij ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ wordt aangegeven met ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots \,}$ of ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ en deze symbolische uitdrukking wordt reeks genoemd."
– H.-J. Schell, Unendliche Reihen, 1978, blz. 9: "Einen solchen Ausdruck nennt man eine unendliche Reihe (oft auch kurz Reihe)."
– C. Blatter, Analysis I 1980, Kapitel 7: "Ist ${\textstyle (a_{k})}$ eine Folge von Zahlen oder Vektoren, so heisst der Ausdruck ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ eine Reihe" .
– R.E. Larson, R.P. Hostetler, Calculus with analytic geometry, 1986, section 10.3: "If ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ is an infinite sequence, then ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series (or simply a series)."
– D.B. Small, J.M. Hosack, Calculus - An integrated approach 1990, blz. 569: "An infinite series or just series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ or, using the summation notation, ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ ".
– W. Swokowsky, Calculus, fifth edition 1991, blz.533: "An ínfinite series (or simply a series) is an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots }$ , or, in summation notation, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ or ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$ " .
– Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik, 14. Aufl. 1995, "Ein solcher Ausdruck heisst unendliche Reihe."
– W. Walter, Analysis 1, 5. Aufl. 1999, blz. 86: "Wir nennen das Symbol ${\textstyle \,\sum _{n=p}^{\infty }a_{n}\,}$ oder $\,a_{p}{+}a_{p+1}{+}a_{p+3}{+}\ldots \,$ eine unendliche Reihe".
– V.A. Zorich, Mathematical analysis I, 2002, blz. 95: "The expression ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ is [...] usually called a series or an infinite series".
– H. Maassen, Calculus 1 en 2, 2004, blz. 42: "Een uitdrukking als ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ heet een reeks."
– G.B. Thomas Jr, Calculus - Eleventh edition 2005, blz. 763: "Given the sequence of numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}}$ , an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is an infinite series ".
– R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College), "We use variations [of ${\textstyle \,\left(\sum f\right)(n)\,}$ or ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}\,}$ ] , such as ${\textstyle \,\sum \{f(n)\}_{n\geq 1}=\{\sum _{j=1}^{n}f(j)\}_{n\geq 1}\,}$ ."
– C.H. Edwards, D.E. Penney, Calculus - Early Transcendentals, 7th edition 2008, blz. 732: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ " .
– J. Stewart, Calculus, early transcendentals; 6th edition, 2008, blz. 687: ". . . an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ }$ which is called an infinite series (or just series) ".
– J. Barnard (Univ. of South Alabama), Calculus III, 2012: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a1+a2+a3+\cdots \,}$ ."
– K. Hambrook (Univ. of Rochester-NY), Lecture notes, 2013, p.1: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ".
– P.W. Hemker, Echte wiskunde, 2013, blz. 67: " 'oneindige reeks' betekent: een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \ }$ of ${\textstyle \,\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$ "
– P. Shunmugaraj, Indian Inst. of Technology, Kanpur, Mathematics I, MTH 101A, Lecture Notes, 2016, Lecture 11-13 blz. 1: "Let (a_n) be a sequence of real numbers. Then an expression of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ [...] is called a series."
– C. Caenepeel, J. De Beule, I. Goyvaerts, Wiskunde: Voortgezette Analyse (Vrije Universiteit Brussel) 2017, blz. 7: "Gegeven is de numerieke rij ${\textstyle \,(u_{n})}$ . Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\ldots \,}$ of, korter, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ noemt men een numerieke reeks.

[33] – N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, blz. 85: "Ist in (3) [ ${\textstyle s_{n}=u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}}$ ] n eine endliche Zahl, so heisst die Summe rechter Hand eine endliche Reihe; lässt man aber in dieser Formel den Stellenzeiger n über jede Grenze hinauswachsen, so entsteht die unendliche Reihe ${\textstyle \,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ ."

[34] – G. Schouten, De grondslagen der rekenkunde, 1916 (idem in 2e druk 1927): "Wanneer tusschen elk paar opvolgende termen eener onbegrensde getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat er een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks."
– B. Coster, A. van Dop, H. Streefkerk, Nieuwe algebra voor het eindexamen, 1960 (idem: 5e druk 1967), blz. 92: "Wanneer tussen elk paar opvolgende termen ener oneindige getallenrij het teken + geplaatst wordt, ontstaat een veelterm met een onbegrensd aantal termen. Zulk een veelterm heet een oneindige reeks of kortweg reeks ."
– K. de Bruin c.s., Getal en ruimte, deel 5/6 V2, 1973, blz. 60: "We spreken nu af, dat we de 'oneindige veelterm' ${\textstyle \,{\frac {1}{2}}{+}{\frac {1}{4}}{+}{\frac {1}{8}}{+}{\frac {1}{16}}{+}\ldots \,}$ een convergente reeks zullen noemen, omdat ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }s_{n}\,}$ bestaat. Let wel: De woorden 'oneindige veelterm' slaan op de vorm van de notatie; ze definiëren nog niets!"

[35] – H.B.A. Bockwinkel, Kollege integraalrekening, 1932, blz. 2: "Onder een oneindige reeks verstaat men een oneindige rij, die gegeven is door zijn verschilrij."

[36] – J. Bloemsma, Mathematisch tijdschrift 'Christiaan Huygens', jrg.1934-1935 nr.VI, blz. 289: "Een reeks bestaat uit de som harer oneindig aantal termen, waarbij de laatste gedefinieerd zijn voor hun rangnummer in de som,".
– TEGENSTEM: P. Wijdenes, Middel-algebra, 2e druk 1934, blz. 509: "Zulk een reeks moet niet gedefinieerd worden als de som van een oneindig aantal termen, maar als limiet van de som van een eindig aantal termen. "
– L.A. Lyusternik, A.R. Yanpols'skii, Mathematical analysis, (Russisch 1961) Engels 1965, blz. 85: "Infinite series, or simply series, are closely connected with sequences, e.g. ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \ =\ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ }$ is "the sum of an infinite number of terms". "
– TEGENSTEM: H. Meschkowski Mathematik als Bildungsgrundlage, 1965, blz. 54: "Unsere Paradoxie macht deutlich, dass ein Grenzwert einer Folge von Summen keine Summe ist, selbst wenn man sie formal als Summe schreibt."
– TEGENSTEM: H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Keinesfalls ist ${\textstyle \,a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \ }$ als eine "Summe von unendlich vielen Summanden" aufzufassen — ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet."
– TEGENSTEM: H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79: "Sie [die Notationen] sind ausserdem suggestiv bis an die Grenze der Gefährlichkeit, erwecken sie doch den Anschein, man würde aus der unendlichen Folge der Summanden a_n durch unendlich viele Additionen die Summe a erhalten; das sind aber selbstverständlich nur leere Worte."
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "Voordat we aan een reeks, dwz. aan zo'n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde kunnen toekennen, [...]." [Commentaar: Onduidelijk blijft waar het 'zo'n' naar verwijst, want voorafgaand is alleen gezegd hoe het bedoelde ding genoteerd wordt, nog niet wat het is.]

[37] – O. Haupt, Differential und Integralrechnung, I. Band, 1938, blz. 49: "Vom Begriff der Folge ist scharf zu unterscheiden der Begriff der (unendlichen) Reihe. Eine solche Reihe entsteht aus einer vorgegebenen Folge {a_ν}, indem man die Folge {s_n} der Teilsummen [...] bildet, und die "Reihe" ist — wenigstens für uns — gleichbedeutend mit der Folge der Teilsummen; . [...] Wir haben so den Begriff der Reihe zurückgeführt auf den Begriff der Folge (der Teilsummen)."

[38] – N. Bourbaki, Éléments de mathématique (première partie), Livre III (Topologie générale), Chapitre III (Groupes topologiques), éd. 1, 1942, blz. 42; éd. 2, 1951 blz. 42; éd. 3(revue et augmentée) 1960, blz. 66: "On appelle série définíe par la suite (x_n), ou série de terme générale x_n (ou simplement série (x_n), par abus de langage, s'il ne risque pas d'y avoir de confusion), le couple des suites (x_n) et (s_n) ainsi associées."
– M. Zamansky, Introduction à l'algèbre et l'analyse modernes, 1958, blz. 279: "On appellera série le couple des deux suites (u_n) et (s_n)."
– R.C. Buck, Advanced calculus, second edition, 1965, blz.158: "An infinite series of real numbers is a pair of real sequences ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{A_{n}\}\,}$ whose term are connected by the relations [...] ".
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, second edition, 1974, blz. 185: "The ordered pair of sequences ({a_n}, {s_n}) is called an infinite series."
– K. Maurin, Analysis, part I, 1976 (Pools 1973), blz. 116: "A pair ${\textstyle \,(\,(y_{n})_{0}^{\infty },\,(S_{n})_{0}^{\infty })\,}$ is called a series with the general term ${\textstyle \,y_{n}\,}$ ."
– M.H. Protter, C.B. Morrey, A first course in real analysis, 1977, blz. 210:" "An infinite series is an ordered pair ${\textstyle \,(\,\{u_{n}\},\,\{s_{n}\})\,}$ of infinite sequences in which ${\textstyle \,s_{n}=u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots {+}u_{n}\,}$ for each ${\textstyle n}$ ."
– Encyclopaedia of Mathematics, 1992, volume 8 blz. 284: "A pair of sequences of complex numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}\,}$ and ${\textstyle \,\{s_{n}\}\,}$ [...] is called a (simple) series of numbers " .
– E.D. Gaughan, Introduction to analysis (1st ed. 1968) 5th ed. 1998, blz. 173: "An infinite series is a pair ${\textstyle (\,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\ \{S_{n}\}_{n=1}^{\infty })\,}$ [...]."

[39] – L.M. Kells, Calculus, 1943, blz. 397: "A series is the indicated sum of a succession of terms related by a law."
– R.R. Middlemiss, Differential and integral calculus, 1946, blz. 392: "The indicated sum of a sequence is called a series. "
– L. Zippin, Uses of infinity, 1962 (MAA nr.7), blz. 65: "A sequence of terms with indicated additions (or substractions) is called a series."
– L.A. Pipes, L.R. Harvill, Applies mathematics for engineers and physicists, third edition, 1970, blz. 820: "A series is the indicated sum of the terms of a sequence."
– F. Ayres, Differential and integral calculus, in SI metric units, 1972, blz. 220: "The indicated sum ${\textstyle \,\sum s_{n}\ =\ \sum _{n=1}^{+\infty }s_{n}\ =\ s_{1}{+}s_{2}{+}s_{3}{+}\ldots {+}s_{n}{+}\ldots \,}$ of an infinite sequence ${\textstyle \,\{s_{n}\}}$ is called an infinite series."
– J.R. Lee, Advanced calculus with linear analysis, 1972, blz. 22: "An infinite series is an indicated sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \ =\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}\ =\ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\,}$ ."
– J.E. Weber, Mathematical analysis, 4th edition 1982, blz. 317: "a series is the indicated sum u₁+u₂+ ··· of the terms of a sequence. "
– J. Daintith, R.D. Nelson, The Penguin dictionary of mathematics, 1989, blz. 292: " series = The indicated sum of the terms of a sequence.".
– G. James, R.C. James, Mathematical dictionary, 5th edtion, 1992, blz. 357: " Series = The indicated sum of a finite or infinite sequence of terms."
– W. Kaplan, Advanced calculus; fifth edition, 2003, blz. 375: "An infinite series is an indicated sum of the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ , going on to infinitely many terms."

[40] – H. Looman, Beginselen der hogere wiskunde, deel II, 2e druk 1946, blz. 18: "Onder een reeks verstaat men een onbegrensd voortgezette rij van getallen u₁, u₂, u₃, ..., die opgeteld moeten worden,".
– J.H.C. Lisman, Wiskundige propaedeuse voor econometristen, 2e druk 1963, blz. 18, 21: "Een opvolging van elementen [...] noemt men een rij. Zodra men deze gaat sommeren spreekt men van een reeks ".
– The universal encyclopedia of mathematics, 1964 (Duits 1960), blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence." Blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series."
– J. Marsden, A. Weinstein, Calculus II, 1985, sectie 12.1 blz. 561: "An infinite series is a sequence of numbers whose terms are to be added up.".

[41] – L.V. Ahlfors, Complex analysis, 1953 blz. 133 (idem 2nd ed. 1966, blz. 35): "An infinite series is a formal infinite sum"
– The universal encyclopedia of mathematics 1964 (Duits 1960), blz. 572: "The formal sum of infinitely many terms ${\textstyle \,\,\sum _{\nu =1}^{\infty }u_{\nu }\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series." Blz. 392: "A series is the unevaluated sum of terms of a (finite or infinite) sequence."
– R.A. Adams, Calculus, a complete course; fifth edition, 2003, blz. 527: "An infinite series, usually just called a series, is a formal sum of infinitely many terms."
– ~~Wikipedia-nl,~~ Reeks (wiskunde), Definitie: "Voor iedere rij ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som ${\textstyle \ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots }$ ."

[42] – G.E.F. Sherwood, A.E. Taylor, Calculus, 3rd edition 1954, blz. 383: "This [u₁+u₂+u₃+ ··· +u_n+ ··· ] formal expression is called an infinite series."
– J.H. Mathews, R.W. Howell, Complex analysis for mathematics and engineering; fourth edition, 2001, Chapter 4: "The formal expression ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }z_{k}\,=\,z_{1}{+}z_{2}{+}\cdots {+}z_{n}{+}\cdots \,}$ is called an infinite series,"
– G. Teschl, S. Teschl, Mathematik für Informatiker: Teil 1, 2006, blz. 156: "Man nennt den formalen Ausdruck ${\textstyle \,a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \,}$ eine unendliche Reihe".

[43] – G.R. Veldkamp, Inleiding tot de analyse, 1957, blz. 259: "Een reeks is dus niets anders dan de rij van zijn partiële sommen." ["Zijn" verwijst naar het te definiëren object: cirkeldefinitie.]

[44] Bij deze omschrijving van de betekenis worden twee aspecten genegeerd: (1) het feit dat een rij altijd bestaat uit de partieelsommen van een andere rij (de verschilrij van de eerste) en er dus geen sprake is van een speciaal soort; (2) het strijdig zijn met iedere logica om de a_n' s aan te duiden als 'de termen van de nieuwe rij (s_n)', en om z'n eventuele limiet aan te duiden met 'z'n som'.
– W.J. Vollewens, Repertorium der wiskunde voor ingenieurs, deel I, 1950, blz. 195: "Is een variant [= oneindige rij] gegeven [...] dan kan met daaruit afleiden de zg. somvariant [...] Deze somvariant heet een reeks;" .
– T.M. Apostol, Mathematical analysis, a modern approach to advanced calculus, 1957, (6th printing 1973) blz. 355: "A sequence {s_n} formed in this way is called a series (or an infinite series)."
– P. Wijdenes, Lagere algebra, deel II, 8e druk 1965, blz. 297: "Een reeks is een rij die volgens een bepaald optellingsschema uit een andere rij is afgeleid." (Dit verschilt van 3e druk 1935 blz. 391; 5e druk 1949 blz.367; 7e druk 1958 blz. 307: "Een rij getallen, die volgens een bepaald voorschrift gevormd worden, heet een reeks".)
– T.M. Apostol, Calculus, volume I, One-variable calculus, with an introduction to lineair algebra; second edition, 1967, blz. 384: "The sequence {s_n} of partial sums is called an infinite series, or simply a series ".
– M. Rosenlicht, Introduction to analysis, 1968, blz. 141: "If ${\textstyle \,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,}$ is a sequence of real numbers, by the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ also denoted ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ , we mean the sequence ${\textstyle \,a_{1},\,a_{1}{+}a_{2},\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\,\ldots \,}$ ."
– C.W. Burrill, J.R. Knudsen, Real variables, 1969, blz. 121: "The sequence {s_n} is called an infinite sum or infinite series or simply a series of the elements of {a_n}."
– N.P. Zwikker, J.B. Ham, Analyse 2, 1970, blz. 79: "de rij {S_n} heet dan een reeks."
– K. Endl, W. Luh, Analysis I, 1973, p.31: "Die Folge ${\textstyle \,\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ [...] nennen wir eine unendliche Reihe und bezeichne sie mit ${\textstyle \,\sum _{\nu =1}^{\infty }a_{\nu }\,}$ ."
– M. Barner, F. Flohr, Analysis I, 1974, blz.141: "Es sei ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ eine Zahlenfolge. Durch die Festsetzung ${\textstyle \,s_{n}=\,\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ wird eine Zahlenfolge ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ definiert, die man als die zu ${\textstyle \,(a_{k})\,}$ gehorende unendliche Reihe bezeichnet."
– H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 1.Aufl. 1980 (idem 4.Aufl. 1986), blz. 187: "Die unendlichen Reihe - oder kurz die Reihe - mit den Gliedern ${\textstyle \,a_{0},a_{1},a_{2},\cdots \,}$ , in Zeichen ${\textstyle \ \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\ }$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ , bedeutet eine Folge, nämlich die Folge der Teilsummen ${\textstyle \,s_{n}\,:=\,a_{0}{+}a_{1}{+}\cdots a_{n}(n=0,1,2,\cdots )}$ .
– J.F. Hurley, Intermediate calculus, 1980, section 2.3: "An infinite series [...] is a sequence (s₁, s₂, ...,s_n, ...) where s₁ = a₁, s_n = a_n+s_n-1".
– O. Foster, Analysis 1, 4. Auflage 1983, blz. 23-24: "Die Folge [...] der Partialsummen heisst (unendliche) Reihe und wird mit ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ bezeichnet."
– H. König, Analysis 1, 1984, blz. 79 "Die unendliche Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ist also nichts anderes als die Summenfolge ${\textstyle \,(u_{n})_{n}\,}$ der Zahlenfolge ${\textstyle \,(a_{n})_{n}}$ ."
– J.H.J. Almering, H. Bavinck, R.W. Goldbach, Analyse, 5e druk 1986 (idem 6e druk 1989), blz. 514: "Uitgaand van een rij (a_n) kan men een nieuwe rij (s_n) construeren [...]. Deze nieuwe rij noemen we de bij a_n behorende reeks (Engels: series).
– H.-G. Friedemann, Arithmetik, 1990, blz. 299: "Die Folge (s_n) der Partialsummen s₁, s₂, s₃, ..., s_n heisst die zu (a_n) gehörende Reihe.
– L. Leithold, The calculus, with analytic geometry; sixth edition, 1990, blz. 701: "If {u_n} is a sequence and . . . then the sequence {s_n} is called an infinite series."
– D. Dijkstra e.a., Dictaat analyse B (universiteit Twente), 1999, blz. 1: "De getallenrij (s_k) wordt de bij de getallenrij (a_n) behorende reeks genoemd."
– S.R. Lay, Analysis, with an introduction to proof, 2001, blz.268: "We also refer to the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ of partial sums as the infinite series (or simply the series) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ."
– O. Riemenschneider, Analysis I, 2.Aufl. 2004, blz. 13: "Außerdem kann man aus Folgen durch Addition ihrer Glieder neue Folgen bilden, die man Reihen nennt."
– H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, blz. 287: "series are sequences of partial sums,".
–- L. Grüne, Analysis I und II, 2012, blz. 57: "Für eine reelle Folge ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ heisst die Folge ${\textstyle \,b_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,}$ (unendliche) Reihe."
– U. Reif c.s., Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I, II, 2015 (TU-Darmstadt), blz. 82: "Man bezeichnet die Folge (s_m)_m als die Reihe".
– E. Weitz, Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker, 2018, blz. 511: "DIE DEFINITION, die sich inzwischen allgemein durchgesetzt hat, sieht folgendermassen aus. Wenn wir eine Folge [ ] van Zahlen haben, dann bezeichnen wir die darauf basierte Folge [ ]von endlichen Summen als Reihe (engl. series) " . [Commentaar: Dus: "Onder de voorwaarde dat we een oneindige rij enen hebben, noemen we de rij van de natuurlijke getallen 'reeks'." Is dit een DEFINITIE ? Van een wiskundig begrip dat afwijkt van een oneindige getallenrij? (Ga toch knikkeren, Professor.) ]
– ~~Wikipedia-de,~~ Reihe: "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."

[45] – Fr.A. Willers, Willers Elementar-Mathematik, 12.Aufl. 1965, par. 47: "Die Summe der Glieder einer geometrische Zahlenfolge nennt man geometrische Reihe."
– E.J. Borowski, J.M. Borwein, Collins dictionary of mathematics, 1991, blz. 533: " series = the sum of a finite or infinite sequence of terms" .
– ~~Wikibooks,~~ Calculus/Definition of a Series, 2019, regel 1: "A series is the sum of the terms in a sequence."

[46] – P. Lax, S. Burstein, A. Lax, Calculus with applications and computing, volume I, 1976, blz. 21: "the infinite sum, traditionally called infinite series, "
– P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: " series = Generally, but not always, an infinite sum."
– S.I. Grossman, Calculus, second edition, 1981, blz. 628: "the infinite sum ${\textstyle \,\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\ =\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots {+}a_{n}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series (or, simply, series)."
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Let ${\textstyle \,(a_{n})_{n=1}^{\infty }\,}$ be an infinite sequence. We refer to the infinite sum ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,}$ as an infinite series."
– ~~Wikipedia-en,~~ Series, Basic properties: "An infinite series or simply a series is an infinite sum, represented by an infinite expression of the form $\,a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$ "

[47] – Skolöverstyrelsen, Matematik-terminologi i skolan, 1979, blz. 115: "En serie erhålls, när elementen i en oändlig talföljd successivt adderas." (Een reeks ontstaat wanner de elementen van een oneindige getallenrij achtereenvolgens worden toegevoegd.).
– M. de Gee, Wiskunde in werking, 1995, blz. 5: "Sommeren we alle termen van een oneindige rij dan krijgen we een reeks: ".
– A. Croft, R. Davidson, Mathematics for engineers, 2004, blz. 883: "When the terms of an infinite sequence are added we obtain an infinite series."

[48] – P.J. Davies, R. Hersh, The mathematical experience, 1980, blz. 416: "A mathematical process which calls for an infinite number of additions."

[49] – W. Ledermann, S. Vajda, Handbook of applicable mathematics, volume IV: Analysis, 1982, blz. 13: "A series consists of a sequence (a_n) of terms from which a sequence (s_n) of partial sums is derived,".

[50] – R.S. Borden, A course in advanced calculus, 1983, blz. 300: "An infinite series, more commonly, a series is a sum of a countable number of terms."

[51] In deze betekenis wordt 'de reeks' steeds direct gevolgd door 'van' en vervolgens de aanduiding van een rij. Het opvatten van 'reeks' als de naam van een zekere afbeelding maakt het onmogelijk om een betekenis te geven aan combinaties als 'termen van een reeks', 'som van een reeks', 'convergentie van een reeks' .
– N.G. de Bruijn, Bijlage bij het college Taal en struktuur van de wiskunde, deel V21, 1978, blz. 7: "Een mogelijkheid om met behoud van het woord reeks samenhangend te spreken is: overgaan op het begrip 'reeks van een rij'. [...] Men doet er verstandiger aan de terminologie en notatie op het gebied van reeksen als 'typografische afkortingen' te beschouwen."
– E. Fisher, Intermediate real analysis, 1983, blz. 151: "If ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ is a real sequence, then the sequence ${\textstyle \,\langle S_{n}\rangle }$ , [...] is called the infinite series of terms of the sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ ."
– S. Haschler, schule 2005-06, blz. 3 'Reihen': "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."
– R. Mayer, Infinite series, 2006 (Reed College), " $\,\sum$ is actually a function that maps complex sequences to complex sequences."
– M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft), 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ een rij reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen ${\textstyle \,(s_{n})_{n\geq 0}\,}$ wordt de reeks van ${\textstyle \,(a_{j})_{j\geq 0}\,}$ genoemd ".
– B. Keller, Folgen und Reihen 2017 blz. 4: "Die Folge ${\textstyle (s_{n})\,}$ [...] nennen wir Reihe der Folge ${\textstyle (a_{n})\,}$ ."
– J. Leydold, Grundlagen 2017, blz. 34: "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}$ aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i})\,}$ ."

[52] – O. Teller, Vademecum van de wiskunde, Prisma 1033, 13e druk 1994, blz. 32: "'Vormt men de som van alle termen [van een meetkundige rij], dan ontstaat een meetkundige reeks."

[53] – L.J. Goldstein, D.C. Lay, D.I. Schneider, N.H. Asmar, Calculus & its applications, 11th edition, 2007, blz. 569: "An infinite series is an infinite addition of numbers ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}a_{4}{+}\ldots \,}$ "
– M.P. Cohen, North Dakota state univ., Calculus II Math 166, 2016, Lecture notes blz. 19: "Note here that sequences and series are intimately connected, but that they represent different concepts. A sequence is always just an infinite list of numbers without any additional structure; a series always refers to an infinite addition of numbers."

[54] – P.J. Bartlett, CALifornia institute of TECHnology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools: "If it does [converging partial sums], we then call the limit of this sequence the series associated to ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ ,".
– M. Karow, Analyse I für Ingenieure (Folien), 2018(?), Thema: unendliche Reihen: "Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen ".

[55] – A Eickhoff-Schachtebeck, A Schöbel, Mathematik in der Biologie, 2014, p. 75: "Interessiert man sich nicht für die einzelnen Glieder a₁, a₂, a₃, ... einer Folge, sondern für deren Summe a₁+a₂+ ··· +a_n bis zum Glied n, so erhällt man eine Reihe."

[56] – ~~Wikipedia-en,~~ Series, zin 11: "a series, which is the operation of adding the a_i one after the other"

[57] – M. Ryan, Calculus for dummies, 2nd edition 2014, blz.324: "simply the adding up of the infinite number of terms of a sequence."
– ~~Wikipedia-nl,~~ Reeks (wiskunde), zin 1: "Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen."

[58] – P. Levrie, Pythagoras (tijdschrift), 2014 jrg. 53 nummer 5, blz. 8: "Wat is een reeks? Een reeks in de wiskunde is een som met oneindig veel termen."
– ~~Wikibooks,~~ Einführung in die Funktionentheorie/ Folgen und Reihen, 2015: "Unter einer unendlichen Reihe versteht man – wie im Reellen – eine Summe mit unbeschränkt vielen Summanden, die nach einer bestimmten Vorschrift (Bildungsgesetz) berechnet wurden."

[59] – G. Dubois, Définition des séries, 2015 (of later): "Les 'séries' sont les suites ${\textstyle \,(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ récurrentes définié par une relation de type: ${\textstyle \,s_{0}=u_{0}\ ,\ s_{n}=s_{n{-}1}+u_{n}\,}$ ".

[60] – P. Wijdenes, Middel-algebra, deel II, 4e druk 1949, blz. 118: "Om te kennen te geven, dat we aan de partiële sommen aandacht schenken, noemen we de oneindige rij getallen een oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks " .
– D.A. Quadling, Mathematical analysis, (first published 1955) reprint 1968, blz. 85: "When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINIE SERIES. The series is denoted by the symbol ${\textstyle \,\sum u_{r}\,}$ ; no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose r-th term is u_r."
– R.E. Johnson, F.L. Kiokemeister, Calculus, with analytic geometry; fourth edition, 1969, blz. 448: "This leads to a study of the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ associated with each sequence ${\textstyle \,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots \,}$ ."
– H.J. Keisler, Elementary calculus, 1976, blz. 529; idem 2012, blz. 501: "We can go from this example to the general notion of an infinite sum. When we wish to find the sum of an infinite sequence ${\textstyle \,\langle a_{n}\rangle \,}$ we call it an infinite series and write it in the form ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ ."
– Yu.A. Kuznetsov, J. Stienstra, Fouriertheorie, 2009 (Departement Wiskunde, Univ. Utrecht), blz. 9: "In de wiskunde is er wel een duidelijk verschil [in betekenis tussen de woorden "rij" en "reeks" ]: wanneer we praten over een reeks, dan wordt daarmee meteen aangegeven dat we de intentie hebben om de getallen van de rij op te tellen. Laat ${\textstyle \,\{a_{n}\}_{n\geq 0}\,}$ een rij complexe getallen zijn. De daarbij horende reeks wordt genoteerd als . . .". (Commentaar: onvermeld blijft wat bedoeld wordt met 'de daarbij horende reeks'.)

[61] – T.J.I. Bromwich, An introduction to the theory of infinite series, 1908, blz. 15: "if the sequence ${\textstyle \,(s_{n})\,}$ is convergent and has the limit ${\textstyle \,S\,}$ , the infinite series ${\textstyle \,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ldots \,=\,\sum _{1}^{\infty }a_{n}\,=\,\sum a_{n}}$ , is convergent; and ${\textstyle \,S\,}$ is called the sum of the series."
– É. Goursat, Cours d'analyse mathématique I, 2e édition, 1910, blz. 9: "Étant donnée une suite infinie quelconque, dont le terme général est u_n, on dit que la série u₀+u₁+···+u_n+··· est convergente, si la suite formée par les sommes successives des termes de cette série [...] est elle-même convergente."
– K.A. Ross, Elementary analysis: the theory of calculus, 1980, blz. 68: "The infinite series ${\textstyle \,\sum _{n=m}^{\infty }a_{n}\,}$ is said to converge provided [...] ".
– D. Varberg, E.J. Purcell, S.E. Rigdon, Calculus, 8th edition 2000, blz. 436: " [...] consider the infinite series " .

[62] – P. Epstein (oorspr. Italiaans E. Pascal), Repertorium der höheren Analysis, 1. Hälfte, 2. Aufl. 1910, blz. 421: "Kapitel VI. Reihen, Produkte, Kettenbrüche."

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]