Gelukkig getal

Een gelukkig getal is een speciaal positief geheel getal dat bepaald wordt door het volgende procedé:

• kwadrateer de afzonderlijke cijfers van het getal;
• de som van deze kwadraten vormt een nieuw getal;
• herhaal deze procedure zo lang totdat er ofwel een cyclus van getallen wordt doorlopen, ofwel het getal 1 optreedt;
• wordt het getal 1 bereikt, dan is het oorspronkelijke getal een gelukkig getal.

De eerste twintig gelukkige getallen zijn: $1,7,10,13,19,23,28,31,32,44,49,68,70,79,82,86,91,94,97,100$.

Een meer formele definitie

Wordt (in een zeker talstelsel) bij een geheel positief getal $n$ de rij getallen $n_{0}=n,n_{1},n_{2},n_{3},\ldots$ zó gevormd dat $n_{i+1}$ gelijk is aan de som van de kwadraten van de cijfers van $n_{i}$, dan is $n$ een gelukkig getal als er een $k$ bestaat waarvoor $n_{k}=1$.

Met $s$ (of $s_{1}$)$,s_{2},\dots$ wordt de eerste, tweede, ... iteratiestap beschreven van bovenbedoeld procedé. Zo is (in het tientallige stelsel):

$s(7)=s_{1}(7)=49,\,s_{2}(7)=s(49)=97,\,s_{3}(7)=s(97)=130,\,s_{4}(7)=s(130)=10,\,s_{5}(7)=s(10)=1$

De rij $n_{k}$ (voor $k=0,1,2,\ldots$) met $n_{0}=7$ is in dit geval: $7,\,49,\,97,\,130,\,10,\,1$.

Een rij als deze wordt ook wel genoteerd als: $7\to 49\to 97\to 130\to 10\to 1$.

Voorbeelden

1. Het getal $23$ geeft:

$2^{2}+3^{2}=13\to 1^{2}+3^{2}=10\to 1^{2}+0^{2}=1$

Dus is $23$ een gelukkig getal.

2. Het getal $78$ geeft:

$113\to 11\to 2\to \mathbf {4} \to 16\to 37\to 58\to 89\to 145\to 42\to 20\to \mathbf {4}$

En nu zal de cyclus $16,\,37,\,58,\,89,\,145,\,42,\,20,\,4$ zich steeds herhalen. Daarom is $78$ geen gelukkig getal.

Eigenschappen

• Staat er in de rij $n_{0}=n,n_{1},n_{2},\dots$ (conform bovenstaande formele definitie) een getal $n_{k}$ (met $k\geq 1$) dat een gelukkig getal is, dan is $n$ een gelukkig getal.

Bewijs. Is $n_{k}$ een gelukkig getal, dan is er in de rij die $n_{k}$ als eerste term heeft, een term $n_{k+m}$ (voor zekere $m\geq 1$) met een waarde gelijk aan $1$. De term $n_{k+m}$ staat dan ook in de rij die begint met $n_{0}$. Dus is $n$ een gelukkig getal.

• De eigenschap ‘wel of niet gelukkig’ verandert niet indien er in de schrijfwijze in cijfers nullen worden toegevoegd of weggelaten.

Bewijs. Dit is triviaal: $0^{2}$ erbij of eraf verandert de waarde van $s(n)$ niet.

• Er zijn oneindig veel gelukkige getallen.

Bewijs. Dit volgt uit de vorige eigenschap. Maar een iets ander bewijs is het volgende.

Voor $k=1,2,3,\ldots$ zij $n=10^{k}$, zodat het getal $n$ geschreven is met een $1$ gevolgd door $k$ nullen. Dan is voor elke $k$, dus voor elk van die getallen, $s(n)=1$. En van die getallen $n$ zijn er oneindig veel.

• Een getal dat wordt gevormd door een permutatie van de cijfers van een gelukkig getal, is een gelukkig getal.

Bewijs. Dit berust op de commutativiteit van de optelling (van de kwadraten) van getallen.

• Een getal $n$ van de vorm $10^{k}+3$ (met $k=1,2,3,\ldots$) is een gelukkig getal.

Bewijs. Het getal $n$ is in dit geval een getal dat geschreven is met een $1$ gevolgd door $k-1$ nullen en dan een $3$; dus: $n=1000\ldots 003$.

Dan is $s(n)=1+9=10\to 1$.

N.B. Dit geldt ook voor getallen $n$ van de vorm $10^{k}+9$ (met $k=0,1,2,\ldots$). Immers,

• voor $k=0$ is $n=10$ en $s(10)=1$;

• voor $k\geq 1$ is $s(n)=1+81=82\to 68\to 100\to 1$.

• Er zijn oneindig veel niet-gelukkige getallen.

Bewijs. Stel $n=2\cdot 10^{k}$ voor $k=1,2,3,\ldots$; dit zijn oneindig veel getallen. Dan is:

$s(n)=2^{2}+0^{2}+\ldots +0^{2}=4$

En $4$ is een niet-gelukkig getal. Dus is elk getal $n$ van de vorm $2\cdot 10^{k}$ een niet-gelukkig getal.

Cyclus

Stelling. Is $n$ een getal geschreven met $k$ cijfers (in het decimale stelsel), dan is er precies een cyclus (in de rij gevormd volgens de formele definitie) die met $4$ begint.

Bewijs. Voor iedere $k\geq 1$ is $10^{k-1}\leq n\leq 10k$. Met $k\geq 4$ is dan:

$s(n)\leq 81k\leq 10^{k-1}\leq n$

Immers, de maximale waarde van $s(n)$ voor een getal $n$ van $k$ cijfers is $k\cdot 9^{2}=81k$ en voor $k\geq 4$ is inderdaad voldaan aan $81k\leq 10^{k-1}$.

Voor $n\geq 1000$ geeft de eerste iteratiestap dus een waarde $s(n)<1000$. Is vervolgens $n<1000$, dan is $s(n)$ maximaal als $n=999$, zodat $s_{\text{max}}=3\cdot 81=243$. Daarmee leidt de eerste iteratiestap voor getallen $n$ met $243\leq n<1000$ tot $s(n)\leq 243$.

Is $100\leq n\leq 243$, dan is $s_{\text{max}}=s(199)=1+2\cdot 81=163$. En voor $100\leq n\leq 163$ is $s_{\text{max}}=s(159)=1+25+81=107$.

Als $100\leq n\leq 107$ is, dan is $s_{\text{max}}=s(107)=50$, zodat voor die waarden van $n$ de eerste iteratiestap leidt tot een waarde van $s(n)\leq 50$.

Conclusie - Elke $n\geq 100$ geeft na een eindig aantal iteratiestappen $j$ een $s_{j}$-waarde (een term $n_{j}$) die kleiner is dan $100$. Onderzoek van de rij getallen $n=n_{0},\,n_{1},\,n_{2},\,\ldots$ geeft voor de getallen $n=1,2,3,\cdots ,99$ telkens een van de twee volgende mogelijkheden:
• er is een $k$ met $n_{k}=1$;
• er is een $k$ met $n_{k}=4$ en $n_{k}\to 16\to 37\to 58\to 89\to 145\to 42\to 20\to 4$.

Opmerking

De definitie van een gelukkig getal is afhankelijk van het talstelsel waarin de getallen zijn geschreven. Hierboven is telkens uitgegaan van het tientallige stelsel. In het binaire stelsel en het viertallige stelsel zijn alle positieve gehele getallen gelukkig.

Binaire schrijfwijze

Wordt het getal $n$ (geheel, $\geq 1$) binair geschreven (te herkennen aan index $_{2}$), dan kan bewezen worden dat $n$ een gelukkig getal. Hieronder staat een schets van een bewijs.

Voorbeelden

$n=1_{2}$ ; $s(n)=1^{2}=1$

$n=10_{2}$ ; $s(n)=1^{2}+0^{2}=1$

$n=11_{2}$ ; $s_{1}(n)=1^{2}+1^{2}=2=10_{2}$ ; $s_{2}(n)=s(10_{2})=1$

$n=100_{2}$ ; $s(n)=1$

$n=101_{2}$ ; $s_{1}(n)=2=10_{2}$ ; $s_{2}(n)=s(10_{2})=1$

$n=110_{2}$ ; $s_{1}(n)=2=10_{2}$ ; $s_{2}(n)=s(10_{2})=1$

$n=111_{2}$ ; $s_{1}(n)=3=11_{2}$ ; $s_{2}(n)=s(11_{2})=10_{2}$ ; $s_{3}(n)=s(10_{2})=1$

Merk op dat voor een willekeurig positief geheel (ook binair geschreven) getal $n$ geldt dat $s(n)=s(n')$, waarbij $n'$ het getal is dat ontstaat door uit de (binaire) schrijfwijze van $n$ alle nullen weg te laten.

En voorts is, voor een binair geschreven natuurlijk getal $n$ met lauter $k$ enen (met $k\geq 1$):

$n=111\ldots 11_{2}=2^{k}-1$ en $s(n)=k$

Voor iedere $k$ ($=2,3,\ldots$) geldt $k<2^{k}-1$. Dus de eerste iteratiestap bij zo’n $n$ leidt altijd tot $s(n)<n$, dus tot een getal met minder enen in de binaire schrijfwijze, en daardoor uiteindelijk tot een zekere $s_{k}$-waarde die gelijk is aan 1. Met andere woorden:
Stelling. Elk positief geheel getal dat binair gerepresenteerd is, is een gelukkig getal.

Zie ook

• Geluksgetal en ongeluksgetal
• Harshadgetal; 'harshad' komt uit het Sanskrit en betekent 'grote vreugde'.
• Narcistisch getal
• Münchhausengetal

Externe links

• (en) Eric W. Weisstein: Happy Number. Op: MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• (en) Eric W. Weisstein: Unhappy Number. Op: MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• (en) OEIS: Rij A0339943 - Cycles with sum of squares
• WolframAlpha: (en) Happy Number.