Een gelukkig getal is een speciaal positief geheel getal dat bepaald wordt door het volgende procedé:
- kwadrateer de afzonderlijke cijfers van het getal;
- de som van deze kwadraten vormt een nieuw getal;
- herhaal deze procedure zo lang totdat er ofwel een cyclus van getallen wordt doorlopen, ofwel het getal 1 optreedt;
- wordt het getal 1 bereikt, dan is het oorspronkelijke getal een gelukkig getal.
De eerste twintig gelukkige getallen zijn:
.[1]
Wordt (in een zeker talstelsel) bij een geheel positief getal
de rij getallen
zó gevormd dat
gelijk is aan de som van de kwadraten van de cijfers van
, dan is
een gelukkig getal als er een
bestaat waarvoor
.
Met
(of
)
wordt de eerste, tweede, ... iteratiestap beschreven van bovenbedoeld procedé. Zo is (in het tientallige stelsel):

De rij
(voor
) met
is in dit geval:
.
Een rij als deze wordt ook wel genoteerd als:
.
1. Het getal
geeft:

Dus is
een gelukkig getal.
2. Het getal
geeft:

En nu zal de cyclus
zich steeds herhalen.
Daarom is
geen gelukkig getal.[2]
- Staat er in de rij
(conform bovenstaande formele definitie) een getal
(met
) dat een gelukkig getal is, dan is
een gelukkig getal.
- Bewijs. Is
een gelukkig getal, dan is er in de rij die
als eerste term heeft, een term
(voor zekere
) met een waarde gelijk aan
. De term
staat dan ook in de rij die begint met
. Dus is
een gelukkig getal.
- De eigenschap ‘wel of niet gelukkig’ verandert niet indien er in de schrijfwijze in cijfers nullen worden toegevoegd of weggelaten.
- Bewijs. Dit is triviaal:
erbij of eraf verandert de waarde van
niet.
- Er zijn oneindig veel gelukkige getallen.
- Bewijs. Dit volgt uit de vorige eigenschap. Maar een iets ander bewijs is het volgende.
- Voor
zij
, zodat het getal
geschreven is met een
gevolgd door
nullen. Dan is voor elke
, dus voor elk van die getallen,
. En van die getallen
zijn er oneindig veel.
- Een getal dat wordt gevormd door een permutatie van de cijfers van een gelukkig getal, is een gelukkig getal.
- Bewijs. Dit berust op de commutativiteit van de optelling (van de kwadraten) van getallen.
- Een getal
van de vorm
(met
) is een gelukkig getal.
- Bewijs. Het getal
is in dit geval een getal dat geschreven is met een
gevolgd door
nullen en dan een
; dus:
.
- Dan is
.
- N.B. Dit geldt ook voor getallen
van de vorm
(met
). Immers,
- • voor
is
en
;
- • voor
is
.
- Er zijn oneindig veel niet-gelukkige getallen.
- Bewijs. Stel
voor
; dit zijn oneindig veel getallen. Dan is:

- En
is een niet-gelukkig getal. Dus is elk getal
van de vorm
een niet-gelukkig getal.
Stelling. Is
een getal geschreven met
cijfers (in het decimale stelsel), dan is er precies een cyclus (in de rij gevormd volgens de formele definitie) die met
begint.
Bewijs. Voor iedere
is
. Met
is dan:

Immers, de maximale waarde van
voor een getal
van
cijfers is
en voor
is inderdaad voldaan aan
.
Voor
geeft de eerste iteratiestap dus een waarde
. Is vervolgens
, dan is
maximaal als
, zodat
. Daarmee leidt de eerste iteratiestap voor getallen
met
tot
.
Is
, dan is
. En voor
is
.
Als
is, dan is
, zodat voor die waarden van
de eerste iteratiestap leidt tot een waarde van
.
Conclusie - Elke
geeft na een eindig aantal iteratiestappen
een
-waarde (een term
) die kleiner is dan
.
Onderzoek van de rij getallen
geeft voor de getallen
telkens een van de twee volgende mogelijkheden:
• er is een
met
;
• er is een
met
en
.
De definitie van een gelukkig getal is afhankelijk van het talstelsel waarin de getallen zijn geschreven. Hierboven is telkens uitgegaan van het tientallige stelsel. In het binaire stelsel en het viertallige stelsel zijn alle positieve gehele getallen gelukkig.
Wordt het getal
(geheel,
) binair geschreven (te herkennen aan index
), dan kan bewezen worden dat
een gelukkig getal. Hieronder staat een schets van een bewijs.
- Voorbeelden
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
;
; 
;
;
; 
Merk op dat voor een willekeurig positief geheel (ook binair geschreven) getal
geldt dat
, waarbij
het getal is dat ontstaat door uit de (binaire) schrijfwijze van
alle nullen weg te laten.
En voorts is, voor een binair geschreven natuurlijk getal
met lauter
enen (met
):
en 
Voor iedere
(
) geldt
. Dus de eerste iteratiestap bij zo’n
leidt altijd tot
, dus tot een getal met minder enen in de binaire schrijfwijze, en daardoor uiteindelijk tot een zekere
-waarde die gelijk is aan 1. Met andere woorden:
Stelling. Elk positief geheel getal dat binair gerepresenteerd is, is een gelukkig getal.
Bronnen
- M. Looijen (2015): Over getallen gesproken. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e herziene druk; pp. 210-214.
- S. Shirali (2017):
How to prove it – Happy numbers. In: At Right Angles (Azim Premji University, Bengaluru - India), vol. 6, nr. 3 (november 2017); pp. 40-42.
Noten
|